El pasado día obtuvimos
$ a^{z} = a^{iw} = (1+k\omega)^{i} = \left( 1 + \frac{kz}{i} \right)^{i}, $
Ahora, desarrollando por la fórmula del binomio de Newton tendremos
$ a^{z} = \left( 1 + \frac{kz}{i} \right)^{i} = 1 + \binom{i}{1}\frac{kz}{i} + \binom{i}{2}\frac{(kz)^{2}}{i^{2}} + \binom{i}{3}\frac{(kz)^{3}}{i^{3}} + \cdots =$
$ = 1 + \frac{i}{1} \frac{kz}{i} + \frac{i(i-1)}{1 \cdot 2} \frac{(kz)^{2}}{i^{2}} + \frac{i(i-1)(i-2)}{1 \cdot 2 \cdot3} \frac{(kz)^{3}}{i^{3}} + \cdots = $
$ = 1 + \frac{kz}{1} + \frac{i-1}{i} \frac{(kz)^{2}}{1 \cdot 2} + \frac{(i-1)}{i} \frac{(i-2)}{i} \frac{(kz)^{3}}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \cdots $
Como i es un número infinitamente grande, los cocientes señalados son prácticamente 1, de suerte que se tiene la identidad
$ a^{z} = 1 + \frac{kz}{1} + \frac{(kz)^{2}}{1 \cdot 2} + \frac{(kz)^{3}}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \cdots $
En particular haciendo z=1, se tiene la curiosa relación
$ a = 1 + \frac{k}{1} + \frac{k^{2}}{1 \cdot 2} + \frac{k^{3}}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{k^{4}}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} \cdots $
Esta ecuación muestra al mismo tiempo la relación entre a y k. De manera que para cada valor de k, obtendremos una base distinta de nuestro sistema de logaritmos. Esta relación la usaremos más adelante.
(Autor Federico Ruiz López.)
Enlaces de interés:
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