El número e en la obra de Euler (II)

El pasado día obtuvimos

$ a^{z} = a^{iw} = (1+k\omega)^{i} = \left( 1 + \frac{kz}{i} \right)^{i}, $

Ahora, desarrollando por la fórmula del binomio de Newton tendremos

$ a^{z} = \left( 1 + \frac{kz}{i} \right)^{i} = 1 + \binom{i}{1}\frac{kz}{i} + \binom{i}{2}\frac{(kz)^{2}}{i^{2}} + \binom{i}{3}\frac{(kz)^{3}}{i^{3}} + \cdots =$

$ = 1 + \frac{i}{1} \frac{kz}{i} + \frac{i(i-1)}{1 \cdot 2} \frac{(kz)^{2}}{i^{2}} + \frac{i(i-1)(i-2)}{1 \cdot 2 \cdot3} \frac{(kz)^{3}}{i^{3}} + \cdots = $

$ = 1 + \frac{kz}{1} + \frac{i-1}{i} \frac{(kz)^{2}}{1 \cdot 2} + \frac{(i-1)}{i} \frac{(i-2)}{i} \frac{(kz)^{3}}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \cdots $

Como i es un número infinitamente grande, los cocientes señalados son prácticamente 1, de suerte que se tiene la identidad

$ a^{z} = 1 + \frac{kz}{1} + \frac{(kz)^{2}}{1 \cdot 2} + \frac{(kz)^{3}}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \cdots $

En particular haciendo z=1, se tiene la curiosa relación

$ a = 1 + \frac{k}{1} + \frac{k^{2}}{1 \cdot 2} + \frac{k^{3}}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{k^{4}}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} \cdots $

Esta ecuación muestra al mismo tiempo la relación entre a y k. De manera que para cada valor de k, obtendremos una base distinta de nuestro sistema de logaritmos. Esta relación la usaremos más adelante.

 (Autor Federico Ruiz López.)

Enlaces de interés:

• El número e en la obra de Euler
• El número e en la obra de Euler (I)