El algoritmo de Arquímedes para calcular Pi

Entre los múltiples intentos de aproximar $\pi$ Arquímedes posee el método que más tiempo ha perdurado. Él concibió la longitud de los polígonos regulares inscritos y circunscritos al círculo unidad como medio para calcular $\pi$, pues el perímetro del polígono se acercaba a la longitud de la círculo, $2\pi$. Así determinó, por exceso y por defecto cantidades entre las que estaba $\pi$. Inició el procedimiento de una secuencia que convergía en $\pi$.

Utilizando $p_n$ y $P_n$ como la mitad del perímetro de los polígonos regulares de $n$ lados inscritos y circunscritos, respectivamente, Arquímedes consiguió una relación de recurrencia con la que calcular $\pi$:

$$\frac{1}{P_{2n}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{P_{n}}+\frac{1}{p_{n}}\right)$$

$$p_{2n}=\sqrt{P_{2n}p_n}$$

Comenzando con $n=3$, $p_3=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ y $P_3=3\sqrt{3}$, llegó a establecer la desigualdad

$$\frac{223}{71}<p_{96}<\pi<P_{96}<\frac{22}{7}$$

Utilicemos la idea de Arquímedes y supongamos que el polígono, que inscribimos en el círculo de radio unidad, es un polígono regular de $2^k$ lados. Por ejemplo, si es un cuadrado el lado vale

$$l_2=2\sin(\pi/4)=\sqrt{2},$$

y el perímetro resulta $P_2=2^2l_2=4\sqrt{2}$. Ya tenemos una aproximación a la longitud de la circunferencia.

Si generalizamos, $p_k=\frac{P_k}{2}$ será una aproximación a $\pi$. Veamos como es:

$$p_k=\frac{P_k}{2}=\frac{1}{2}2^kl_k=\frac{1}{2}2^k2\sin(\theta_k)=2^k\sin(\theta_k),$$

siendo $\theta_k=\frac{\pi}{2^k}$. Si doblamos el número de lados; es decir, $k$ pasa a $k+1$, es

$$p_{k+1}=2^{k+1}\sin(\theta_k/2).$$

Ahora utilizamos la relación

$$\sin^2(\theta_k/2)=\frac{1}{2}(1-\cos(\theta_k))=\frac{1}{2}(1-\sqrt{1-\sin^2(\theta_k)}),$$

para sustituir en la anterior y obtener

$$p_{k+1}=2^{k+1}\sqrt{\frac{1}{2}(1-\sqrt{1-\sin^2(\theta_k)})}.$$