El teorema de Gödel, una aproximación a la verdad matemática

El pasado 23 de enero, dentro de las actividades programadas en el Congreso RSME2013,  presentación del libro “El teorema de Gödel, una aproximación a la verdad matemática”. El autor es Josep Plà, reconocido especialista en lógica algebraica e historia de las matemáticas de la Universitat de Barcelona.

Aprovechado la publicación le solicitamos al autor unas lineas sobre el libro. Os dejamos una parte de lo que el autor nos ha comentado sobre qué encontraremos en este libro.

 

Algunos vínculos

entre el teorema de Gödel de 1931

y el resultado de Turing de 1936 [I]

 

En su obra de 1899, Grundlagen der Geometrie, David Hilbert (1862-1943) plantea ya algunos de los ítems de lo que, desde entonces, irá consolidándose como su formalismo o teoría de la demostración. Ciertas partes “esenciales” de la matemática —geometría, aritmética, topología, etc.— deben tratarse en un lenguaje formal a partir de unos axiomas ‘ad hoc’  que son los que configuran los objetos de la teoría y las interrelaciones que coexisten entre ellos. De hecho, en una presentación excesivamente rígida, los ‘objetos semánticos’ que se amagan detrás de los ‘objetos formales’ carece de importancia: “No importa si se trata de puntos, rectas, planos o de mesas, sillas o jarras de cerveza”. Aparece aquí, agazapada, la distinción entre ‘teoría formal’ y ‘matemática formalizada’.

Este planteamiento lleva ínsito que el sistema axiomático formal responda a algunas características importantes, cuales son: la independencia de los axiomas (que le dan un carácter minimal que, sin ser esencial, es importante en este contexto por lo que tiene de clarificador), su completitud (los axiomas se eligen de manera que recojan toda la potencialidad de la ‘matemática’ que se formaliza: “todo lo que, en dicha matemática. es cierto la axiomática debe permitirnos demostrarlo”), su consistencia (la “característica esencial” y que dota de ‘existencia’ a los objetos de la teoría)[1].

En el texto de lógica que publicara junto con Wilhelm Ackermann (1896 -1962), Grundzüge der theoretischen Logik (1928), se plantea una nueva cuestión que, en cualquier caso, debe ‘cuestionarse’: el “Entscheidungsproblem” o “problema de la decisión”: ¿Cabe un ‘algoritmo’ que ‘decida’ si una fórmula bien formada del lenguaje formal es un teorema de una teoría formal concreta?; y, en concreto, “el cálculo de predicados de primer orden es decidible o indecidible”. Lo plantean, como ya lo hiciera Hilbert en 1900 en el enunciado del problema 10 o ‘problema diofántico’ en su lección señera del “Congreso Internacional de Matemáticas de París”, antes de que nadie hubiese elaborado una definición matemática precisa del concepto de ‘algoritmo’.

En 1930, Kurt Gödel (1906-1978) demostraría la ‘completitud’ del cálculo de predicados de primer orden: “Todo lo que se puede demostrar es verdadero y todo lo que es verdadero se puede demostrar”.[2] Este teorema hace referencia a la ‘lógica’ pero carece de lo que podríamos llamar ‘contenido matemático’. El resultado, análogo en el cálculo de pro-posiciones, establecido por Émil Post [1897-1954] en 1921, podía hacer pensar que quizás aquel cálculo, como lo era éste, sería decidible.