Es normal que las paradojas despierten curiosidad y, periódicamente, surgen hechos que nos las recuerdan o nos las dan a conocer por primera vez. Esto lo digo por el vídeo siguiente
¿Cómo puede una suma de números positivos dar un número negativo? Precisamente esta paradoja es la que presenta la suma de las series divergentes.
Desde hace mucho, pero que mucho, tiempo las sumas de infinitos números ha despertado la curiosidad de cuantos las abordaban. Los primeros intentos de darle un sentido los encontramos con Oresme; pero recordad que ya los griegos dudaban del concepto de infinito. ¡Ahí está el quid de todas las series!, el tratamiento del infinito.
Cauchy sentó las bases de hablar con propiedad de una suma infinita. Hoy las conocemos como las convergentes y divergentes. Cauchy comenzó los cimientos del concepto de límite y claramente podía entenderse que una serie convergente tenía sentido sumarse, porque convergía. ¿Y una serie divergente?; es decir, una serie divergente es la que no converge, sin embargo nada podemos decir sobre si es posible sumarla. Bueno, no es exactamente así (Hardy con Divergent Series -Oxford, Clarendon Press, 1949.- se empeñó darles un sentido), el problema reside en qué entendemos por sumar. La grandeza de las matemáticas es que casi todo está entroncado, y las sumas infinitas presentan las mismas paradojas que presentaban la teoría de conjuntos a finales del siglo XIX.
La serie que aparece en el vídeo es una serie divergente y como ésta nos encontramos muchas (1-2+3-4+…,1-1+1-1+…, 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + · · ·, o La leyenda del ajedrez), todas con un nexo común
Las series divergentes son una invención del diablo. Usándolas se puede llegar a cualquier conclusión y es así cómo estas series han dado lugar a tantas falacias y paradojas… Con la excepción de la serie geométrica no existe en toda la matemática una sola serie infinita cuya suma haya sido determinada rigurosamente. En otras palabras, las cosas más importantes en matemáticas son las que tienen un fundamento más débil… El que muchos resultados sean correctos a pesar de ello es extraordinariamente sorprendente. Yo estoy tratando de encontrar una razón para ello; es una cuestión profundamente interesante. Niels Henrik Abel (Peligrosas y complicadas series divergentes)
El historiador de las matemáticas Ivor Grattan-Guinness utilizaba el mismo comienzo que Abel
Las series divergentes son un invento del diablo, y es una vergüenza que se ose basar en ellas demostración alguna. Mediante su uso es posible extraer la conclusión que se desee y esa es la razón por la que estas series han sido el origen de tantas falacias y paradojas. Es que puede uno pensar en algo más descorazonador que decir que: $0 = 1 − 2^n + 3^n − 4^n +$ etc.: donde $n$ es un número positivo. Amigos, he aquí algo de lo que nos podemos reír. Grattan-Guinness, Ivor (1970). The development of the foundations of mathematical analysis from Euler to Riemann. MIT Press. ISBN 0-262-07034-0.
Resumiendo: parafraseando a gaussianos, «el fallo está en mezclar la aritmética finita (números) con la transfinita (infinitos)«. O, podemos considerar que, la suma de series divergentes, es otra cosa y en un futuro puede que veamos aplicaciones de ellas.