Triángulo de diferencias absolutas

Como muchos de vosotros las matemáticas comenzaron a cautivarme con problemas matemáticos. Perdido en el tiempo mantengo un recuerdo muy claro de uno de ellos. Un profesor nos lo planteó y me enfrasqué en él hasta encontrar la solución. Ese problema me acompañó, recordándolo tanto él como la solución. Lo que no conseguí conocer era el origen del problema, incluso el nombre correcto. Al comienzo del curso accedí a la edición de la serie TEMAS, Julio/Septiembre 2014 – Nº 77, Martin Gardner: El universo matemágico de Martin Gardner, y, como no, apareció el problema. Con anterioridad pensé en Gardner, pero no conseguí encontrar este problema. Lo traigo como recuerdo de mi incipiente juventud.

En Junio de 1977, Investigación y Ciencia nº 9, publicó la sección habitual de Martin Gardner titulada Ocho rompecabezas y un juego. El primero lo denominó El triángulo de bolas de billar americano. Gardner contaba que al coronel George Sicherman, de la Universidad de Buffalo, se le había ocurrido un problema, hacía 10 años, observando una partida de billar: ¿es posible formar un triángulo de diferencias al situar las bolas en la disposición triangular habitual antes de comenzar una partida?

Si pensamos en las tres primeras bolas la respuesta es muy sencilla:

Es una disposición muy simple. Compliquémosla, ahora toca las seis primeras bolas. En este caso tampoco resulta tan difícil:

Como vemos la mesa de billar se va llenando de bolas. Pero esta disposición no es la única. A poco que miremos, eliminando las simétricas vemos tres más:

La intuición nos dice que no tenemos por qué pararnos con seis bolas. El siguiente número es el 10 (el cuarto número triangular, $T_4$). Aquí ya empezamos a calentar los motores del auténtico puzzle matemático. Una solución será

Y decimos una, porque de diez bolas podemos encontrar hasta cuatro. ¿Cuáles? Que el curioso lector las busque como aperitivo, pues la dificultad propia se encuentra en las 15 primeras bolas.

El reto que proponía Gardner consistía en encontrar la disposición con 15 bolas. Gardner y Sicherman conocían la solución y además sabían que esta era única. En el artículo Martin Gardner diría:

Que yo sepa no se ha hecho ninguna labor sobre lo que podríamos llamar el problema general de las bolas del billar americano. Con cualquier número triangular de bolas, consecutivamente a partir de 1, ¿será siempre posible formar un triángulo de diferencias? Y si no, ¿cuál sería el mayor triángulo para el que existe solución? Si lo hay, ¿cuál es?

Solo me resta decir, que intenté resolver el problema in silico, llegando a concluir que para $T_6$ y $T_7$ no había solución. En la revista nos cuentan que George Sicherman lo había probado antes hasta $T_8$, encontrando una demostración sencilla para probar que no existe solución para todos los órdenes $2^n-2$ con $n$ mayor que 2. Pero esa información la dejamos para que el lector la lea en la revista.

Esta entrada participa en la Edición 5.7: Alan Turing del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog El zombi de Schrödinger.