En la asignatura de Matemática Discreta, introduzco a los alumnos en la Teoría de números (como preludio de un futuro estudio de la criptografía). Lo primero que vemos es la divisibilidad en los números enteros, y, con ella, el resultado que denomino Teorema de Bézout, conocido como identidad de Bézout. Como ejemplo le propongo la entrada de gaussianos, Cómo resolver ecuaciones diofánticas, donde se ejemplifica a la perfección su uso en la solución de ecuaciones diofánticas.
La identidad de Bézout no se debe a Étienne Bézout(1730-1783), si no a Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1581-1638). El francés Gaspard Bachet fue, entre otras cosas, matemático. Además publicó un trabajo que lo coloca entre los predecesores más antiguos de Martin Gardner. En esta obra de 1612, Problèmes plaisans et delectables qui se font par les nombres, escribe una colección de problemas que hoy en día podríamos incluirla dentro de las matemáticas recreativas. Uno de los más famosos es el Problema de las pesas.
De este libro se realizaría una edición en 1624. En esta edición aparecería un problema que implica la ecuación $$ax+by=1,$$ donde el máximo común divisor de $a$ y $b$ es 1. Bachet muestra cómo encontrar la solución entera.
Siendo curioso este libro y con ejemplos muy útiles, en el incipiente renacimiento de la aritmética griega que se estaba viviendo en aquel siglo, a Bachet se le recordará por su traducción de la gran obra de Diofanto de Alejandría. En 1621 aparecería Arithmetica de Diofanto que inspirará a Fermat.
En 1758 Étienne Bézout fue elegido miembro de la Academia de las Ciencias Francesa y, en los años siguientes, conseguiría prestigio y puestos donde se valoraba sus conocimientos de matemáticas. Como profesor en el cuerpo de artillería, redactó para sus alumnos Cours de mathématiques à l’usage de la marine et de l’artillerie. Seis volúmenes que aparecieron entre 1770 y 1782, que llegarán a ser textos de referencia para los futuros alumnos de la École Polytechnique.
Nos interesa, principalmente, un trabajo que publicó en 1779, Théorie générale des équations algébraiques, donde generaliza el resultado de Bachet y que, desde entonces, es el que acostumbramos a enseñar.
En Éléments d’histoire des mathématiques, Bourbaki, al resultado que hoy traemos, le pone el nombre de « théorème de Bézout ». Hoy lo podemos encontrar en Wikipedia como théorème de Bachet-Bézout.
Esta entrada participa en la Edición 5.9 Emma Castelnuovo del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Que no te aburran las M@TES.
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