La Ley nos dice que $$\frac{dT}{dt}=-k(T-T_a)$$
donde $T_a$ es la temperatura ambiente y $k$ una constante de proporcionalidad. Esta ecuación aparece entre los primeros ejemplos de ecuaciones diferenciales, pues su solución es muy sencilla.
Observando vemos que resulta una ecuación diferencial de variables separadas:
$$\frac{dT}{T-T_a}=-kdt,$$ que integrando dará
$$\log|T(t)-T_a|=-kt+c’$$
donde $c’$ es una constante de integración. Esto nos dice que
$$T(t)-T_a=e^{-kt+c’}=ce^{-kt},$$
y, por tanto, $$T(t)=ce^{-kt}+T_a.$$
Conociendo algún valor inicial y la $T_a$ obtenemos la solución particular de cada problema.