Matemáticas contra la viruela

La epidemiología es la parte de la medicina que estudia el desarrollo epidémico y la incidencia de las enfermedades infecciosas en la población. Hoy viajaremos hasta el siglo XVIII, a uno de los primeros intentos de los matemáticos en poner sus herramientas al servicio del estudio de las epidemias.

Durante el siglo XVIII las epidemias de viruela asolaron Europa. En 1760 la viruela era la causa principal de mortalidad infantil en el viejo continente. La historia nos cuenta cómo lady Montagu se esforzó por extender la práctica de la inoculación, que había visto en Turquía, para salvar vidas frente a la viruela. Durante su estancia en Turquía, junto a su marido, nombrado embajador, lady Montagu, asistió a la práctica de la inoculación que realizaban las madres como profilaxis contra la viruela. Esperanzada con los resultados vividos en la lucha contra la viruela por el Imperio Turco, decidió divulgar la inoculación, luchando contra los prejuicios que había contra tal práctica.

La disputa entre los partidarios y contrarios (por ejemplo, Voltaire fue un ardiente defensor en Francia) llegó a plantear la necesidad de estudiar si era beneficiosa o no. Para tal empeño, Maupertuis, como miembro de la Academia Real de Ciencias de París, solicitó a Daniel Bernoulli, en aquellos momento un reconocido gran geómetra, un estudio que decantase la balanza de la inoculación contra la viruela.

Posiblemente sea el trabajo de 1760 de D. Bernoulli el primero en proponer un modelo epidemiológico. En el trabajo, Daniel, emplea las escasas ayudas que el siglo podía ofrecerle. El mismo reconoce que con mayor información los resultados serían más acertados. Considera que el número personas que no han tenido la viruela, $s$, de una edad $x$, dependen del número de supervivientes, $y$, mediante la relación

$$s=\frac{8}{7e^{\frac{x}{8}}+1}y.$$

Una vez planteada esta fórmula, estudia lo que ocurriría si todos fuesen inoculados al nacer y, como consecuencia, la viruela fuese erradicada como causa de muerte. Daniel Bernoulli concluye que un recién nacido tendría una esperanza de vida con una ganancia de 3 años y 1 mes. Esto sería suficiente para decantar la balanza por la inoculación, pero Daniel Bernoulli sabe de las precarias tablas que le han ofrecido para obtener esos datos. Analiza el riesgo de la inoculación y obtiene una fórmula para el número de supervivientes en un estado no inoculado, para cada edad,

$$z=\frac{me^{\frac{x}{n}}}{1+(m-1)e^{\frac{x}{n}}}y,$$

siendo $n$, el número de individuos que no hayan tenido viruela en el plazo de un año, y $m$ el número de individuos que enferman de viruela en el mismo año.

Con todo, D. Bernoulli, no se atreve a decantar claramente la balanza, y, aunque considera que la inoculación es muy útil, reconoce que el problema no es el mismo para particulares que para los Estados: la decisión, inoculación si o no, dependerá «en tanto que se quiera adoptar el principio de la mayor utilidad de toda la humanidad…»

Como decimos no todos estaban de acuerdo. Incluso en los que apoyaban la inoculación tampoco eran partidarios de aceptar el trabajo de D. Bernoulli. Aunque Bernoulli leyera la memoria el 30 de abril de 1760, esta no se publicó hasta 1765. Posiblemente debido a la oposición de d’Alembert, uno de los miembros más influyentes de la Academia, que publicó su propio trabajo en 1761, criticando la solución del problema de la inoculación dada por D. Bernoulli.

D’Alembert  no coge el punto de vista de la colectividad, sino únicamente el del individuo que debe elegir entre el riesgo inmediato de la inoculación, y el riesgo más distante de la enfermedad: se goza mejor de la vida cuando se es joven, dice él, y una ganancia de tres o cuatro años de vida media, perspectiva lejana (¿años de vejez?) no es suficiente para justificar que se exponga a morir en pocos días de una inoculación voluntaria.[1]

A lo que Daniel Bernoulli le respondió, cuando se publicó su trabajo en 1765:

…[no estaba] sorprendido de que al vulgo le llame poco la atención este último aspecto, pero no puedo impedir estarlo cuando veo personas de mérito y de una gran reputación, plantearse seriamente si vale la pena sufrir una operación como la inoculación, con la esperanza de prolongar su vida en dos años: sería de desear que las críticas fuesen más reservadas y más circunspectas, y sobre todo que hiciesen el esfuerzo de ponerse en el hecho de las cosas que se proponen criticar por anticipado.

Se cree, además, que D’Alembert criticaba el trabajo de Bernoulli por basarse en la teoría de las probabilidades, que hasta los trabajos de Laplace no adquirió la importancia que vivió en el siglo IXX.

No podemos decir que el trabajo de Daniel Bernoulli, y otros matemáticos que intentaron mejorar los modelos, ayudasen a salvar vidas, la inoculación de la viruela cambió cuando E. Jenner descubrió la vacuna en 1796 (curiosamente una especie de inoculación con viruela de vaca, menos virulenta) ; pero sí dio una razón más a los seguidores, una razón basada en las matemáticas.

Epílogo:

¿Y qué propuso d’Alembert? Criticando los criterios asumidos por Bernoulli, d’Alembert considera $v(x)$ la mortalidad por viruela a la edad $x$, $m(x)$, la mortalidad por otras causas y $P(x)$ el número de supervivientes, para plantear

$$\frac{dP}{dx}=-v(x)P-m(x)P.$$

A partir de aquí obtendría sus propios resultados. Para verlo puede consultarse [2].

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Esta entrada participa en la Edición 6.8 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Gaussianos.

Referencia:

• [1] SMALLPOX AND THE MEMORY OF D. BERNOULLI. AN EARLY
  EXAMPLE OF APPLIED STATISTICS, José Antonio Camúñez Ruiz, Francisco Javier Ortega Irizo.
• [2]A Short History of Mathematical Population Dynamics, Nicolas Bacaër