De siempre se ha comentado entre los matemáticos que la teoría de números es la prima donna de las disciplinas matemáticas. Y dentro de la teoría de números aparece un resultado predominante: La Ley de Reciprocidad Cuadrática.
Ocupado con otro trabajo, me encontré con una verdad artmética extraordinaria. como la consideré muy bella en si misma, concentré en ella todos mis esfuerzos para entender los principios de los cuales dependía y para obtener un prueba rigurosa. C.F. Gauss.
Gauss se enfrentaba a la Ley de Reciprocidad Cuadrática, y no se conformó con dar una demostración, en 1801 en su libro Disquisitones Arithmeticae, da dos demostraciones y lo denomina Aureum Theorema. Años después completaría a ocho demostraciones de teorema.
Este problema surge con la ecuación de congruencias $$x^2\equiv a (\text{mod }p).$$ Si existe tal solución decimos que $a$ es un residuo cuadrático módulo $p$, y el problema se traude en encontrar los residuos cuadráticos.
Es posible que Fermat sembrara la semilla, como en tantas otras ecuaciones, cuando enunció cierto (recordemos que nunca presentaba la demostración) que un primo $p$ podía descomponerse en suma de dos cuadrados sí, y sólo si, el primo era 2 o de la forma 4k+1. Fermat dió más resultados similares, pero no los trataremos aquí.
Euler comenzó a estudiar el problema enunciando que si $p$ era un númerp primo impar y $a$ un entero cualquiera coprimo con $p$, entonces $$a^{\frac{p-1}{2}}\equiv \pm 1 (\text{mod }p).$$
Pero, ¿qué ocurriría si tratamos de relacionar dos primos?; es decir, $x^2\equiv q (\text{mod }p)$, y, $y^2\equiv p (\text{mod }q)$ para dos primos impares. Esto daría pie a Euler para afirmar:
- $q=4k+1$ es un residuo cuadrático módulo $p$ sí, y sólo si, $p$ es congruente con un residuo cuadrático módulo $q$
- $q=4k+3$ es un residuo cuadrático módulo $p$ sí, y sólo si, $p$ es congruente con $\pm b^2$ módulo $4q$, donde $b$ es impar no divisible por $q$
Esto no es exactamente la Ley, pero fue una primera aproximación.
Legendre dio el gran paso, y en él introdujo su símbolo que utilizamos hoy:
$$\left(\frac{a}{p}\right) = \begin{cases} 0 & a \equiv 0 \pmod{p} \\ 1 & a \not\equiv 0\pmod{p} \text{ y } \exists x : a\equiv x^2\pmod{p} \\-1 &a \not\equiv 0\pmod{p} \text{ y no hay tal } x. \end{cases}$$
Así Legendre formularía la Ley de Reciprocidad Cuadrática como más frecuentemente se utiliza hoy: Para dos primos impares $p$ y $q$ se cumple
$$ \left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}.$$
Legendre lo demostraría en 1798, una demostración que se basaba en argumentos no probados. dos años después de que Gauss descubriera una demostración, a la edad de 19 años. Sin embargo, sería la publicada en 1801, la que presenta el otro enunciado de esta ley:
Sean $p$ y $q$ primos impares. Entonces
- Si $p$ es de la forma $4k+1$, entonces $q$ es un residuo cuadrático módulo $p$ sí, y sólo si, $p$ es un residuo cuadrático módulo $q$.
- Si $p$ es de la forma $4k+3$, entonces $q$ es un residuo cuadrático módulo $p$ sí, y sólo si, $-p$ es un residuo cuadrático módulo $q$.