La propiedad arquimediana de los números reales nos dice que:
Si $y$ es un número real arbitrario y $x > 0$ entonces existe un entero positivo $n$ tal que $nx>y$.
Esta propiedad surge del lema con el que trabajaba Arquímedes: dadas dos magnitudes que tengan razón(es decir, que sean del mismo tipo y ninguna de las dos sea cero), entonces se puede encontrar un múltiplo de cualquiera de ellas que exceda a la otra[1]. Arquímedes la recuperó de Eudoxo de Cnido(Siglo IV a.C.), quien lo utilizó para demostrar el volumen de ciertas sólidos ya intuidos por Demócrito.
El método que utilizó, hoy se de nomina método de exhausción y lo podemos considerar el antecedente del cálculo integral.
El método consiste en aproximar un resultado buscado con otros conocidos. Así Antifonte (430 a. C.) determinó el área de un círculo(*), inscribiendo en él triángulos cada vez más pequeños, hasta completar su área.
Arquímedes lo utilizó para calcular la longitud de una circunferencia(lo que conlleva el calculo de $\pi$). Inscribiendo y circunscribiendo polígonos regulares en una circunferencia de radio unitario, podemos hallar el área del círculo, la longitud de la circunferencia y el número $\pi$ con tantas cifras decimales como queramos(aquí tenemos cómo lo hizo El algoritmo de Arquímedes para calcular Pi).
De Leszek Krupinski (disputed, see File talk:Archimedes pi.svg) – Trabajo propio, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=1250248
El nombre de método de exhausción no lo utilizaron los griegos, se debe al matemático del siglo XVII Grégoire de Saint-Vincent(1584-1667)[1]
- [1] Carl B. Boyer. Historia de la matemática.
(*)[Actualización]Como hemos dicho, Arquímedes atribuyó el método a Eudoxo, aunque parece que este se limitó a formalizar y sistematizar el procedimiento de Antifonte. Más tarde, Euclides, le daría rigurosidad trantándolo en la Proposición 1 del Libro X en sus Elementos. [Antiphon the Sophist]