Series de primos

La teoría de número tiene un atractivo especial en las matemáticas, y los primos es parte del encanto. Uno de los retos en los que primero cae uno es el de encontrarlos, conseguir una fórmula que nos de todos los primos, o muchos. ¿La habrá?

Sabemos que hay infinitos primos, y que podemos encontrar series con infinitos primos. Por ejemplo, hay infinitos primos de la forma 4n+3, y la demostración resulta instructiva.

Supongamos que me equivoco y el número de primos que se puede poner como $4n+3$ para ciertos $n$ enteros positivos es finito, y que estos primos son $\{p_1,p_2,\ldots,p_k\}$. Ahora construyamos el número $N=(p_1\cdot p_2\cdots p_k)^2+2$. Como cada $p_i=4n_i+3$ para cierto $n_i\in\mathbb{Z}^+$, resulta que $$p_i^2=(4n_i+3)^2\equiv 3^2(mod\, 4)\equiv 1(mod\, 4).$$ En consecuencia $$N=(p_1\cdot p_2\cdots p_k)^2+2\equiv (1+2) (mod\, 4)\equiv 3 (mod\, 4).$$

Es decir, $N$ es un número de la forma $N=4n_\alpha+3$ mayor que todos los $p_i$ y no divisible por ninguno de ellos. Pero $N$ tiene que tener divisores primos, y como no pueden ser los $p_i$ serán otros de la forma $4n+1$. Entonces $$N=q_1\cdot q_2\cdots q_r,$$ con $q_i=4n_i+1$ para todo índice. Lo que me lleva a que $$N\equiv 1 (mod\, 4).$$ una contradicción, pues no puede ser $N\equiv 3 (mod\, 4)$ y $N\equiv 1 (mod\, 4)$ al mismo tiempo. Esta contradicción surge de supone que el número de primos de la forma $4n+3$ es finito.

Como apreciaréis un planteamiento similar a cómo Euclides demostró la infinitud de los números primos.

Pues bien, podemos demostrar de forma similar que el conjunto de primos para ciertos $n$ de la forma $4n+1$, también es infinito. Y los de la forma $6n+1$ ó $6n+5$ ó $8n+1$ ó $8n+3$ ó $8n+5$, y así un no parar. En general lo podemos formular como un teorema, el teorema  de Dirichlet sobre progresiones aritméticas:

Sea $a,\,d\in \mathbb{N}$ tales que el máximo común divisor $(a,d)=1$, entonces la progresión aritmética $a_{n}=a+n\cdot d$ contiene infinitos números primos.

Este resultado que conjeturó Gauss, fue demostrado por Dirichlet en 1837. La demostración se sale de la teoría clásica de números, para adentrarse en la teoría analítica de números. Dirichlet fue un potenciador de esta rama de la teoría de números. A él también debemos, por ejemplo, el Principio del Palomar.

Una consecuencia que obtenemos de este teorema es la respuesta a la pregunta del principio. ¿Podríamos encontrar un polinomio, $P(x)$, con coeficientes enteros que satisfaga $$P(x) \mbox{ es primo} \forall x\in\mathbb{Z}^+?$$

La respuesta es no. Supongamos que sí, que existiese $P(x)$ primo, para todo $x$>0, entonces $P(1)=p$ es primo. Para algún $k>0$, $P(1+k\cdot p)$ será primo  y $P(1+k\cdot p)\equiv P(1) (mod\, p) \equiv 0 (mod\, p)$. Es decir, $P(1+k\cdot p)$ es primo y congruente con 0 modulo $p$, luego $P(1+k\cdot p)=p$ para todo entero $k>0$ anterior. Como el Teorema de Dirichlet nos dice que hay infinitos $k$ que lo cumplen, seguiría que la ecuación $P(x)-p=0$ tiene infinitas soluciones y eso no es posible, un polinomio de grado finito tiene finitas soluciones. Otra contradicción.

Como veis, hay un mundo infinito de contradicciones. Qué pena que no aprendamos de ellas.

Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta septuagésima novena edición, también denominada 9.3, está organizado por @juanfisicahr a través de su blog Esto no entra en el examen.