La famosa lista de 23 problemas de propuestos por David Hilbert en el Congreso de París de 1900 a supuesto un incentivo constante en los matemáticos del siglo XX, la solución de uno de los problemas suponía el paso a la notoriedad matemática. Como son constantes las referencias a esta lista la pondré, aunque podemos verla en multitud de sitios.
- Problema de Cantor sobre el cardinal del continuo.
- La compatibilidad de los axiomas de la aritmética.
- La igualdad de los volúmenes de dos tetraedros de igual base e igual altura.
- El problema de la distancia más corta entre dos puntos. ¿Es la línea recta la distancia más corta entre dos puntos, sobre cualquier superficie, en cualquier geometría?
- Establecer el concepto de grupo de Lie, o grupo continuo de transformaciones, sin asumir la diferenciabilidad de las funciones que definen el grupo.
- Axiomatización de la física. ¿Es posible crear un cuerpo axiomático para la física?
- La irracionalidad y trascendencia de ciertos números como e, $ 2^{1/2}, e^\pi$, etc.
- El problema de la distribución de los números primos.
- Demostración de la ley más general de reciprocidad en un cuerpo de números cualesquiera.
- Establecer métodos efectivos de resolución de ecuaciones diofánticas.
- Formas cuadráticas con coeficientes algebraicos cualesquiera.
- La extensión del teorema de Kronecker sobre cuerpos abelianos a cualquier dominio de racionalidad algebraica.
- Imposibilidad de resolver la ecuación general de séptimo grado por medio de funciones de sólo dos argumentos.
- Prueba de la condición finita de ciertos sistemas completos de funciones.
- Fundamentación rigurosa del cálculo enumerativo de Schubert o geometría algebraica.
- Problema de la topología de curvas algebraicas y de superficies.
- La expresión de formas definidas por sumas de cuadrados.
- Construcción del espacio de los poliedros congruentes.
- Las soluciones de los problemas regulares del cálculo de variaciones, ¿son siempre analíticas?
- El problema general de condiciones de contorno de Dirichlet
- Demostración de la existencia de ecuaciones diferenciales lineales de clase fuchsiana, conocidos sus puntos singulares y grupo monodrómico.
- Uniformidad de las relaciones analíticas por medio de funciones automórficas: siempre es posible uniformizar cualquier relación algebraica entre dos variables por medio de funciones automorfas de una variable.
- Extensión de los métodos del cálculo de variaciones.