{"id":1252,"date":"2010-09-10T18:13:54","date_gmt":"2010-09-10T16:13:54","guid":{"rendered":"http:\/\/matematicas.jesussoto.es\/?p=1252"},"modified":"2010-09-10T18:13:54","modified_gmt":"2010-09-10T16:13:54","slug":"lambert-y-la-irracionalidad-de-%cf%80","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/?p=1252","title":{"rendered":"Lambert y la irracionalidad de \u03c0"},"content":{"rendered":"

Releyendo un tema de las fracciones continuas me acabo de topar con la demostraci\u00f3n de Lambert sobre la irracionalidad de \u03c0.<\/p>\n

Todo parte de una f\u00f3rmula en fracciones continuas que deduce Lambert:<\/p>\n

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y de dos resultados:<\/p>\n

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Ahora consideramos el radio 1 y el arco x=m\/n,, siendo m y n n\u00fameros enteros. sustituyendo en la f\u00f3rmula de la tangente<\/p>\n

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tenemos una fracci\u00f3n continua que cumple el lema, por tanto la tangente es irracional: luego si el arco es conmensurable con el radio, su tangente ser\u00e1 inconmensurable.<\/p>\n

Esta es la clave para deducir que si \u03c0 fuese racional, el arco \u03c0\/4 lo seria tambi\u00e9n, y por consiguiente su tangente deber\u00eda ser irracional. Pero esto no ocurre, ya que la tangente del arco de \u03c0\/4 es igual al radio, en consecuencia \u03c0 no puede ser racional.<\/p>\n

Esta deducci\u00f3n de Lambert la escribi\u00f3 Adrien-Marie Legendre, quien apostill\u00f3: es probable que el n\u00famero \u03c0 no est\u00e1 comprendido entre las cantidades irracionales algebr\u00e1icas, esto es, que no puede ser la ra\u00edz de una ecuaci\u00f3n algebraica de un n\u00famero finito de t\u00e9rminos, cuyos coeficientes son racionales: pero parece muy dif\u00edcil de demostrar rigurosamente esta proposici\u00f3n.<\/p>\n

Nota: <\/strong>(4 marzo, 2011) En una entrada de microsiervos<\/a> nos anunciaban el aniversario de la prueba de Lambert, informaci\u00f3n obtenida via Happy birthday pi<\/a>.<\/p>\n

Enlaces de inter\u00e9s<\/h3>\n