{"id":155,"date":"2009-11-05T00:12:52","date_gmt":"2009-11-04T22:12:52","guid":{"rendered":"http:\/\/matematicas.jesussoto.es\/?p=155"},"modified":"2009-11-05T00:12:52","modified_gmt":"2009-11-04T22:12:52","slug":"historia-de-la-duplicacion-del-cubo","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/?p=155","title":{"rendered":"Historia de la duplicaci\u00f3n del cubo"},"content":{"rendered":"

\"Cube_Animation\"Continuando con la recopilación de interesante artículos publicados hace años, os dejo esta historia que escribió Covadonga Escandón Martínez para Astroseti el 2006-11-15.<\/span><\/strong><\/p>\n

Las matemáticas griegas tenían tres problemas clásicos que fueron extremadamente importantes para el desarrollo de la geometría. Estos problemas eran encontrar la cuadratura del círculo, duplicar el cubo y trisecar un ángulo. Aunque los tres están muy ligados entre ellos, elegimos examinarlos en artículos separados. Este artículo estudia el problema de duplicar el cubo, o la duplicación del cubo, o el problema deliano que son tres nombres distintos dados al mismo problema clásico. Es justo decir que aunque el problema de encontrar la cuadratura del círculo se convertiría en el más famoso en tiempos más modernos, sin duda entre los matemáticos aficionados, el problema de duplicar el cubo ciertamente fue el más famoso en los tiempos de los antiguos griegos.<\/p>\n

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Hay dos narraciones diferentes dadas por comentadores posteriores sobre los orígenes del problema. Teón de Esmirna cita una obra de Eratóstenes (ver Heath [2]):<\/p>\n

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Eratóstenes, es su obra titulada Platonicus relata que, cuando el dios anunció a los delianos a través del oráculo que, para deshacerse de una plaga, debían construir un altar del doble del que había, sus artesanos quedaron desconcertados en sus esfuerzos por descubrir cómo podían hacer un sólido que fuera el doble de otro sólido similar; por ello fueron a preguntarle al respecto a Platón, quien respondió que el oráculo quería decir no que el dios quisiera un altar del doble del tamaño sino que deseaba, al imponerles la tarea, avergonzar a los griegos por su descuido de las matemáticas y su desprecio por la geometría. <\/em><\/p>\n<\/blockquote>\n

La plaga sin duda fue un evento importante en la historia de Atenas y aproximadamente un cuarto de la población murió por esta causa. Esto sucedió alrededor del 420 a.C. así que de haber algo de verdad en esta leyenda al menos podemos dar una fecha razonablemente exacta para la aparición del problema. Esto también es consistente con una contribución anterior de Hipócrates al problema.<\/p>\n

Eutocio, en su comentario a Sobre la esfera y el cilindro<\/em> de Arquímedes, dio una versión un tanto distinta. Esta se supone que es una carta escrita por Eratóstenes al Rey Tolomeo y, aunque la carta es una falsificación, el escritor sí cita algunos escritos genuinos de Eratóstenes [1]:<\/p>\n

\n

Eratóstenes al Rey Tolomeo, saludos.<\/em><\/p>\n

La anécdota dice que uno de los poetas trágicos antiguos representaba a Minos haciendo construir una tumba para Glauco y que, cuando Minos descubrió que la tumba medía cien pies de cada lado, dijo ‘Demasiado pequeña es la tumba que habéis señalado como el sitio real de descanso. Hacedla el doble de grande. Sin arruinar la forma, rápidamente duplicad cada lado de la tumba’. Esto claramente era un error. Ya que si los lados se duplican, la superficie se multiplica por cuatro y el volumen por ocho. <\/em><\/p>\n<\/blockquote>\n

Esta anécdota relata un episodio de la mitología griega más que hechos históricos. Sin embargo, los descubrimientos en Cnosos, en Creta, en tiempos relativamente recientes han mostrado que, al menos parcialmente, estos cuentos de la mitología están basados en acontecimientos históricos. La mitología relata que Glauco, el hijo de Minos, el rey de Creta y de su esposa Parsifae, murió siendo niño al caer en un recipiente de miel.<\/p>\n\n\n\n
\"\"<\/p>\n

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Los orígenes del problema de duplicar el cubo pueden ser un tanto oscuros como acabamos de ver, pero no queda duda de que los griegos sabían desde mucho antes cómo resolver el problema de duplicar el cuadrado. Así, tomar un cuadrado ABCD y dibujar la diagonal DB. Construir un cuadrado BDEF usando BD. De ahí es fácil ver que BDEF es el doble de ABCD. Duplicar el rectángulo es un poco más difícil pero también sabían cómo hacerlo y Euclides lo presenta en el Libro II de los Elementos<\/em> y claramente es parte de un trabajo muy anterior.<\/p>\n

El primer paso importante en la duplicación del cubo fue dado por Hipócrates, probablemente no mucho después de que el problema apareciera por primera vez. Sin embargo parece posible que ya antes estuvieran pensando en una forma más general del problema:<\/p>\n

    \n
  1. Encontrar un cubo tal que su razón a un cubo dado sea igual a la razón entre dos líneas dadas.Hipócrates redujo el problema a:<\/li>\n
  2. Dadas dos líneas, encontrar dos medias proporcionales entre ellas.Es decir, dadas las líneas a<\/em>, b<\/em> encontrar x<\/em>, y<\/em> tales que a<\/em> : x<\/em> = x<\/em> : y<\/em> = y<\/em> : b<\/em>.<\/li>\n<\/ol>\n

    Con nuestra comprensión moderna de la proporción es fácil ver que (i) y (ii) son equivalentes ya que<\/p>\n

    \n

    a<\/em>3<\/sup> : x<\/em>3<\/sup> = (a<\/em>:x<\/em>)3<\/sup> = (a<\/em> : x<\/em>)(x<\/em> : y<\/em>)(y<\/em> : b<\/em>) = a<\/em> : b<\/em><\/p>\n<\/blockquote>\n

    Así que si nos dan un cubo de lado a<\/em> y queremos construir un cubo b<\/em> : a<\/em> veces el volumen, entonces necesitamos construir un cubo de lado x<\/em>.<\/p>\n

    Ahora muchos artículos sobre la duplicación del cubo dan el argumento del párrafo anterior para demostrar el resultado de Hipócrates de que (i) y (ii) son equivalentes; ver por ejemplo [3]. Pero como se señala en [8], este tipo de argumentos no los tenía Hipócrates así que hay que tener en cuenta no solamente cómo demostró la equivalencia sino también cómo fue que Hipócrates pensó en el resultado para empezar. No hay manera de conocer con seguridad las respuestas a estas preguntas. Sin embargo hay pistas que vienen del problema del caso bidimensional. Euclides en los Elementos<\/em> demuestra que los siguientes dos problemas son equivalentes:<\/p>\n

      \n
    1. Encontrar un cuadrado cuya razón a un cuadrado dado sea igual a la razón entre dos líneas dadas.<\/li>\n
    2. Dadas dos líneas, encontrar una media proporcional entre ellas, es decir, dadas las líneas a<\/em>, b<\/em> encontrar x<\/em> tal que a<\/em> : x<\/em> = x<\/em> : b<\/em>.<\/li>\n<\/ol>\n

      De nuevo, un argumento moderno dice a<\/em>2<\/sup> : x<\/em>2<\/sup> = (a<\/em> : x<\/em>)2<\/sup> = (a<\/em> : x<\/em>)(x<\/em> : b<\/em>) = a<\/em> : b<\/em>, lo que demuestra que dado un cuadrado de lado a<\/em> entonces, si construimos un cuadrado de lado x<\/em>, este tiene un área igual a b<\/em> : a<\/em> veces la del cuadrado de lado a<\/em>. Euclides, en el Libro VI de los Elementos<\/em> no solo muestra la equivalencia ente (iii) y (iv) sino que muestra cómo puede usarse (iv) para resolver (iii). Heath también sugiere en [2] que Hipócrates podría haber llegado a la idea a partir de la teoría de números ya que cita el Libro VIII de los Elementos<\/em> de Euclides:<\/p>\n

      \n

      Entre dos números cúbicos hay dos números que son medias proporcionales y el cubo tiene con el cubo una proporción triple de la que el lado tiene al lado. <\/em><\/p>\n<\/blockquote>\n

      Sin embargo, un hábil análisis textual de Sobre la esfera y el cilindro<\/em> de Arquímedes lleva al autor de [8] a deducir que las razones compuestas, aunque eran bien conocidas para Arquímedes, pertenecen a matemáticas más moderas que las de la época de Hipócrates. Sea cual sea el razonamiento que llevó a Hipócrates a mostrar que el problema de duplicar el cubo se reducía a (ii), es notable que todos los matemáticos posteriores atacaran el problema (ii) en vez de la formulación original.<\/p>\n

      Consideramos ahora la solución propuesta por Arquitas. Es una solución muy bella que muestra una innovación sobresaliente de Arquitas. Heath escribe [2]:<\/p>\n

      \n

      La solución de Arquitas es la más notable de todas, especialmente cuando se considera su fecha (primera mitad del siglo IV a.C.), ya que no es una construcción plana sino una atrevida construcción en tres dimensiones la cual determina un cierto punto como la intersección de tres superficies de revolución… <\/em><\/p>\n<\/blockquote>\n

      Mostraremos la construcción usada por Arquitas según la explica Eutocio. Intentaremos dar una interpretación moderna de esta construcción para hacerla más entendible pero enfatizaremos que el estilo coordenado en partes de la descripción no está presente en lo absoluto en el trabajo de Arquitas.<\/p>\n\n\n\n
      \"\"<\/p>\n

       <\/p>\n

       <\/p>\n

       <\/p>\n

       <\/p>\n

      \n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

      Considérese un círculo con diámetro OA<\/em> en el plano xy<\/em>, donde O<\/em> es el origen y A<\/em> es el punto (a<\/em>, 0). Sea B<\/em> un punto sobre el círculo tal que OB<\/em> = b<\/em>. El objetivo es encontrar dos medias proporcionales entre a<\/em> y b<\/em>. Extiéndase OB<\/em> hasta la tangente al círculo en A<\/em> y sea C<\/em> el punto de intersección. Supóngase que esta figura está en el espacio tridimensional en el que el eje Z<\/em> pasa por O<\/em> saliendo perpendicular al plano del diagrama. Imagínese ahora las tres superficies de revolución a las que hace referencia Heath en la cita anterior. Una superficie es un medio-cilindro con el círculo OAB<\/em> como base y que sale del plano del diagrama. La segunda es la superficie de un cono producido por OC<\/em> cuando el triángulo OCA<\/em> se gira alrededor de la lína OA<\/em>. La tercera superficie se produce al considerar un semicírculo en el plano XZ<\/em> con OA<\/em> como diámetro por encima del plano XY<\/em> y rotando este semicírculo sobre OA<\/em> donde OA<\/em> gira en el plano XY<\/em> por encima de O<\/em>. Esta superficie es la mitad de un toro1<\/sup> tal que el hueco en su centro es solamente el punto O<\/em>.<\/p>\n

      Supóngase que las tres superficies de revolución se intersecan solamente en el punto P<\/em>. Entonces P<\/em>, al estar sobre el medio-cilindro queda por encima de un punto N<\/em> sobre el círculo OBA<\/em>. Entonces las dos medias proporcionales construidas por Arquitas son OP<\/em> y ON<\/em>. Usaremos algo de geometría coordenada dentro de un momento para ver que Arquitas está en lo cierto pero primero damos la construcción en voz de Eutocio, sin hacerle cambios excepto por los nombres del punto que he cambiado para ajustarnos a la notación de nuestro diagrama y que está descrita arriba (ver por ejemplo [7]):<\/p>\n

      Esta es la solución de Arquitas, reportada por Eudemo:<\/p>\n

      \n

      Sean las dos líneas dadas OA [= a] y b, se requiere para construir dos medias proporcionales entre a y b. Dibujar el círculo OAB con OA como diámetro donde OA es el mayor [OA = A b] e inscribir OB, la longitud b y hacerlo encontrarse con C la tangente al círculo en A. … imaginar un medio-cilindro que sale perpendicularmente del semicírculo OAB y que en OA se eleva un semicírculo perpendicular sobre la [base] del medio-cilindro. Cuando este semicírculo es movido desde A hasta B, el extremo O del diámetro quedando fijo, cortará la superficie cilíndrica al hacer su movimiento y trazará sobre ella una cierta curva bien definida. Entonces, si OA se queda fijo y si el triángulo OCA pivotea alrededor de OA con un movimiento opuesto al del semicírculo, producirá una superficie cónica por medio de la línea OC la cual, en el transcurso de su movimiento, se encontrará con la curva dibujada sobre el cilindro en un punto específico [P]. … <\/em><\/p>\n<\/blockquote>\n

      Para ver, usando matemáticas modernas, por qué esto funciona notamos que la superficie cilíndrica tiene la ecuación<\/p>\n

        \n
      1. x2<\/sup><\/em> + y2<\/sup><\/em> = ax<\/em>la superficie toroidal tiene ecuación<\/li>\n
      2. x2<\/sup><\/em> + y2<\/sup><\/em> + z2<\/sup><\/em>= a<\/em>√(x2<\/sup><\/em> + y2<\/sup><\/em>)y la superfie cónica tiene la ecuación<\/li>\n
      3. x2<\/sup><\/em> + y2<\/sup><\/em> + z2<\/sup><\/em>= a2<\/sup><\/em>x2<\/sup><\/em>\/b2<\/sup><\/em>.<\/li>\n<\/ol>\n

        Si (p, q, r<\/em>) es el punto en el que estas tres superficies se intersecan, entonces<\/p>\n

        \n

        OP<\/em> = √(p2<\/sup><\/em> + q2<\/sup><\/em> + r2<\/sup><\/em>)<\/p>\n<\/blockquote>\n

        mientras que<\/p>\n

        \n

        ON<\/em> = √(p2<\/sup><\/em> + q2<\/sup><\/em>).<\/p>\n<\/blockquote>\n

        Ahora bien, de (1) y (3) tenemos<\/p>\n

        \n

        p2<\/sup><\/em> + q2<\/sup><\/em> + r2<\/sup><\/em> = (p2<\/sup><\/em> + q2<\/sup><\/em>)2<\/sup>\/b2<\/sup><\/em>.<\/p>\n<\/blockquote>\n

        Por lo tanto<\/p>\n

        \n

        a<\/em>\/√( p2<\/sup><\/em> + q2<\/sup><\/em> + r2<\/sup><\/em>) = √( p2<\/sup><\/em> + q2<\/sup><\/em> + r2<\/sup><\/em>)\/√(p2<\/sup><\/em> + q2<\/sup><\/em>) = √( p2<\/sup><\/em> + q2<\/sup><\/em>)<\/p>\n<\/blockquote>\n

        como se requiere.<\/p>\n

        A través de los escritos de Eutocio sabemos que Eudoxo también dio una solución al problema de duplicar el cubo. Sin embargo, su solución se ha perdido ya que la versión que Eutocio tenía era trivialmente errónea y por ello él no la reprodujo. Nadie cree que Eudoxo cometiera un error elemental en su solución (era un matemático demasiado bueno para eso) así que el error debe haber sido introducido cuando su solución fue copiada por alguien que no la entendía bien. Paul Tannery sugirió que la solución de Eudoxo era una versión bidimensional de aquella dada por Arquitas que acabamos de describir, de hecho la solución obtenida proyectando la construcción de Arquitas a un plano. Sin embargo, Heath [2] sugiere que Eudoxo era:<\/p>\n

        \n

        … un matemático demasiado original como para conformarse con una mera adaptación del método de solución de Arquitas.<\/em><\/p>\n<\/blockquote>\n

        Yo [EFR] estoy de acuerdo con esta valoración de Heath, así que parece poco probable que lleguemos a saber cómo fue que Eudoxo resolvió el problema de duplicar el cubo.<\/p>\n

        Se dice que Menecmo hizo su descubrimiento de las secciones cónicas mientras intentaba resolver el problema de la duplicación del cubo. La solución de Menecmo a encontrar dos medias proporcionales es descrita por Eutocio en su comentario a Sobre la esfera y el cilindro<\/em> de Arquímedes.<\/p>\n

        Supongamos que nos dan a, b<\/em> y queremos encontrar dos medias proporcionales x, y<\/em> entre ellas, es decir, a<\/em> : x<\/em> = x<\/em>: y<\/em> = y<\/em> : b<\/em>. Usando matemáticas modernas, las cuales por supuesto no estaban al alcance de Menecmo, podemos ver cómo aparecen las secciones cónicas al resolver el problema. Ahora,<\/p>\n

        \n

        a<\/em>\/x<\/em> = y<\/em>\/b<\/em> así que xy<\/em> = ab<\/em>,<\/p>\n

        x<\/em>\/y<\/em> = y<\/em>\/b<\/em> así que y2<\/sup><\/em> = bx<\/em> y<\/p>\n

        a<\/em>\/x<\/em> = x<\/em>\/y<\/em> así que x2<\/sup><\/em> = ay<\/em>.<\/p>\n<\/blockquote>\n

        Menecmo dio dos soluciones. La primera viene de la hipérbola rectangular y la parábola que son las dos primeras ecuaciones en nuestra lista. Ahora vemos que los valores de x<\/em> y y<\/em> se encuentran al intersecar la parábola y2<\/sup><\/em> = bx<\/em> y la hipérbola rectangular xy<\/em> = ab<\/em>. Por supuesto debemos enfatizar nuevamente que esto de ninguna manera refleja la forma en que Menecmo resolvió el problema pero sí muestra en términos modernos cómo es que la parábola y la hipérbola entran en la solución al problema. Para su segunda solución, Menecmo usa la intersección de las dos parábolas y2<\/sup><\/em> = bx<\/em> y s2<\/sup><\/em> = ay<\/em> que son la segunda y tercera ecuaciones de nuestra lista.<\/p>\n

        Uno de los grandes interrogantes respecto a la solución del problema de la duplicación del cubo es que hay una solución mecánica conocida como la máquina de Platón. Parece muy poco probable que Platón haya dado una solución mecánica, sobretodo dadas sus opiniones sobre este tipo de soluciones. Plutarco escribió (ver por ejemplo [7]):<\/p>\n

        \n

        Platón reprochó a los discípulos de Eudoxo, Arquitas y Menecmo por recurrir a medios mecánicos e instrumentos para resolver el problema de duplicar el volumen, ya que en su deseo de encontrar de alguna manera dos medias proporcionales, recurrieron a un método que era irracional. Al proceder de esto modo, se perdía irremediablemente lo mejor de la geometría, por una regresión al nivel de los sentidos, lo cual impide crear e incluso percibir las imágenes eternas e incorpóreas entre las que Dios es eternamente dios. <\/em><\/p>\n<\/blockquote>\n

        Hay dos teorías respecto a la máquina de Platón para resolver el problema de la duplicación del cubo. Una es que Platón inventó la solución mecánica para demostrar qué tan fácil es implementar este tipo de soluciones pero la teoría más aceptada es que la máquina de Platón fue inventada por uno de sus seguidores en la Academia.<\/p>\n

        Eratóstenes es importante en la narración tanto porque la historia del problema ha sido comunicada a través de él como también por su propia contribución al problema. Él erigió una columna en Alejandría dedicada al Rey Tolomeo con un epigrama inscrito en ella el cual relata su propia solución mecánica al problema de duplicar el cubo [2]:<\/p>\n

        \n

        Si, querido amigo, os ocupases de obtener a partir de cualquier cubo pequeño un cubo que lo duplique y debidamente de cambiar cualquier figura sólida en otra, esto está en vuestro poder; podéis encontrar la medida de un pliegue, un foso o el amplio cuenco de un pozo hueco mediante este método, es decir, si atrapáis entre dos reglas dos medias con sus extremos convergiendo. No busquéis hacer el difícil asunto de los cilindros de Arquitas ni cortar el cono en la triada de Menecmo ni alcanzar tal forma curva de líneas como la descrita por el piadoso Eudoxo. Podéis, en estas tabletas, fácilmente encontrar una miríada de medias, empezando por una pequeña base. Feliz sois, Tolomeo, ya que, como un padre igual a su hijo en su juvenil vigor, os habéis dado todo lo que es amado por las musas y los Reyes y talvez en el futuro, oh Zeus, dios del cielo, también recibáis el cetro en vuestras manos. Que así sea y que cualquiera que vea esta ofrenda diga ‘Éste es el regalo de Eratóstenes de Cirene’. <\/em><\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n
        \"\"<\/p>\n

         <\/p>\n

         <\/p>\n

         <\/p>\n

         <\/p>\n

        \n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

        ¿Cuál era entonces la máquina que inventó Eratóstenes para resolver el problema? Consiste de dos líneas paralelas con triángulos entre ellas como se muestra en el diagrama superior. Aquí AE<\/em> y DH<\/em> son las dos longitudes para las cuales se requiere encontrar dos medias proporcionales. Ahora nos quedamos con el primer triángulo AMF<\/em> fijo pero permitimos que los triángulos MNG<\/em> y NQH<\/em> se deslicen dentro del marco acotado por AX<\/em> y EY<\/em>. Rotar AX<\/em> hasta que pase a través de D<\/em> pero mientras se hace esto, asegurarse de que los puntos B<\/em> y C<\/em> en los que esta línea que se mueve corta a MF<\/em> y a NG<\/em> siga también dentro de los lados MG<\/em> y NH<\/em> de los dos triángulos que se mueven a la izquierda para permitir que esta configuración siga siendo posible. Los triángulos se deslizan hacia la izquierda hasta que se alcance la parte baja de los dos diagramas. En este diagrama final BF<\/em> y CG<\/em> son las dos medias proporcionales entre AE<\/em> y .<\/p>\n

        Eratóstenes comenta sobre la cita anterior que su máquina es capaz de encontrar más de dos medias proporcionales. Si uno requiriera ‘una miríada de medias’ proporcionales, entonces solamente se necesita poner ese número de triángulos movibles dentro de su máquina y el mismo procedimiento encontrará la ‘miríada’ de medias proporcionales.<\/p>\n

        Otras soluciones al problema fueron de Filón y Heron quienes dieron métodos parecidos. Su solución se produce de hecho por la intersección de un círculo y una hipérbola rectangular. Nicomedes, que era muy crítico con la solución mecánica de Eratóstenes, dio una construcción que usaba la curva concoide, la cual también usó para resolver el problema de trisecar un ángulo. Detalles de la construcción son dados en [2]. Diocles también inventó una curva especial para resolver el problema de duplicar el cubo, la llamada curva cisoide.<\/p>\n

        Aunque todos estos métodos distintos fueron inventados para duplicar el cubo e importantes descubrimientos matemáticos fueron realizados en los intentos, los antiguos griegos nunca habrían de encontrar la solución que realmente buscaban, es decir, una solución que pudiera hacerse mediante una construcción con regla y compás. Nunca encontrarían tal construcción ya que ésta no puede lograrse. Sin embargo, no había forma de que los antiguos griegos pudieran demostrar este resultado porque requiere matemática que estaban muy lejos de las que ellos desarrollaron. Debemos decir, sin embargo, que aunque no podían probar que una construcción mediante regla y compás era imposible, los mejores matemáticos de la antigua Grecia sabían intuitivamente que era imposible ciertamente<\/p>\n

        La demostración de la imposibilidad tendría que esperar por las matemáticas del siglo XIX. Las piezas finales del argumento fueron reunidas por Pierre Wantzel. En 1837, Wantzel publicó en el Journal<\/em> de Liouville demostraciones de:<\/p>\n

        \n

        … los medios para establecer si un problema geométrico puede o no ser resuelto mediante regla y compás. <\/em><\/p>\n<\/blockquote>\n

        Gauss había afirmado que los problemas de duplicar el cubo y trisecar el ángulo no podían ser resulatos con regla y compás pero no dio pruebas. En su artículo de 1837 Wantzel fue el primero en demostrar estos resultados. Pruebas mejoradas fueron dadas más adelante por Charles Sturm pero no las publicó.<\/p>\n

        Artículo de:<\/strong> J J O’Connor y E F Robertson<\/em><\/p>\n

        MacTutor History of Mathematics Archive<\/strong><\/p>\n

        Bibliografía<\/strong><\/p>\n

          \n
        1. M R Cohen and I E Drabkin (trs.), A source book in Greek science (Harvard, 1948).<\/li>\n
        2. T L Heath, A history of Greek mathematics<\/em> I<\/strong> (Oxford, 1931).<\/li>\n
        3. W R Knorr, The ancient tradition of geometric problems<\/em> (Boston, 1986).<\/li>\n
        4. W R Knorr, Textual studies in ancient and medieval geometry<\/em> (Boston, 1989).<\/li>\n
        5. I Thomas, Selections illustrating the history of Greek mathematics : Vol 1 (From Thales to Euclid)<\/em> (London, 1967).<\/li>\n
        6. I Thomas, Greek mathematical works<\/em> (London, 1939).<\/li>\n
        7. J Delattre and R Bkouche, Why ruler and compass?, in History of Mathematics : History of Problems<\/em> (Paris, 1997), 89-113.<\/li>\n
        8. K Saito, Doubling the cube : a new interpretation of its significance for early Greek geometry, Historia Math<\/em>. 22<\/strong> (2) (1995), 119-137.<\/li>\n<\/ol>\n

          Enlaces de interés
          \n<\/strong><\/h3>\n