{"id":2042,"date":"2011-02-01T02:10:29","date_gmt":"2011-02-01T00:10:29","guid":{"rendered":"http:\/\/laaventuradelasmatematicas.jesussoto.es\/?p=2042"},"modified":"2011-02-01T02:10:29","modified_gmt":"2011-02-01T00:10:29","slug":"primeros-desarrollos-en-serie-i","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/?p=2042","title":{"rendered":"Primeros desarrollos en serie (I)"},"content":{"rendered":"

Isaac Newton fue el primero en establecer el teorema del binomio para exponentes negativos y fraccionarios. Los libros de texto de secundaria suelen llamar binomio de Newton a la conocida f\u00f3rmula para desarrollar $(a+b)^n$ cuando n<\/em> es natural, si bien esta f\u00f3rmula ya era conocida desde la antig\u00fcedad.<\/p>\n

El verdadero descubrimiento de Newton, y el primer gran hallazgo matem\u00e1tico de su dilatada carrera, fue el intuir que la f\u00f3rmula pod\u00eda ser generalizada m\u00e1s all\u00e1 de exponentes naturales.<\/p>\n

La f\u00f3rmula apareci\u00f3 por primera vez en una carta que Newton escribi\u00f3 el 13 de junio de 1676 a Henry Oldenburg, secretario por aquel entonces de la Royal Society, para que se la transmitiera a Leibniz, quien le hab\u00eda pedido informaci\u00f3n sobre sus trabajos con series infinitas. Cuando Leibniz recibi\u00f3 la carta, contest\u00f3 a Newton pidi\u00e9ndole m\u00e1s informaci\u00f3n. Newton le contest\u00f3 el d\u00eda 24 de octubre del mismo a\u00f1o. Ambas cartas fueron publicadas en el Commercium Epistolicum en 1712.<\/p>\n

Reproducimos aqu\u00ed la f\u00f3rmula del binomio tal y como fue escrita.
\n$$\\overline{P+PQ}|\\frac{m}{n}=P\\frac{m}{n}+\\frac{m}{n}AQ+\\frac{m-n}{2n}BQ+\\frac{m-2n}{4n^1}CQ+\\frac{m-3n}{4n}DQ+…$$<\/p>\n

En dicha carta Newton adem\u00e1s realiza algunas observaciones muy interesantes.\u00a0Por un lado Newton afirma que el c\u00e1lculo de ra\u00edces resulta mucho m\u00e1s corto aplicando la expresi\u00f3n del binomio. Newton explica posteriormente el valor de las letras $A,\\;B,\\;C…$ diciendo que $A=P^{\\frac{m}{n}}$, $B=\\frac{m}{n}AQ$ y as\u00ed sucesivamente, lo que nos da una muestra de la concisi\u00f3n en las explicaciones de Newton, ya que todos agradecer\u00edamos al menos un tercer t\u00e9rmino para comprender mejor la f\u00f3rmula.<\/p>\n

En la misma carta adem\u00e1s Newton aclara la notaci\u00f3n que va a utilizar explicando que utilizar\u00e1 $a^2,\\;a^3,…$ para $aa,\\;aaa,…$ y que para escribir $\\sqrt{a},\\;\\sqrt{a^3},…$ usar\u00eda $a^\\frac{1}{2},\\;a^\\frac{3}{2},…$<\/p>\n

Quiz\u00e1s si observamos la f\u00f3rmula anterior nos costar\u00e1 reconocer en ella, tras un primer vistazo, la conocida f\u00f3rmula del binomio de Newton que tantas veces hemos explicado en nuestras clases y tanto cuesta que nuestros alumnos aprendan.<\/p>\n

Examinemos con un poco m\u00e1s de detenimiento la f\u00f3rmula y tengamos en cuenta que $$A=P^{m\/n}$$ $$B=\\frac{m}{n}AQ=\\frac{m}{n}P^{m\/n}Q$$ $$C=\\frac{m-n}{2n}BQ=\\frac{(m-n)m}{(2n)n}P^{m\/n}Q^2=\\frac{(\\frac{m}{n})(\\frac{m}{n}-1)}{2}P^{m\/n}Q^2$$ $$D=\\frac{m-2n}{3n}CQ=\\frac{(\\frac{m}{n})(\\frac{m}{n}-1)(\\frac{m}{n}-2)}{3 \\times 2}P^{m\/n}Q^3\\hspace{15pt} \\mbox{etc} $$<\/p>\n

Si aplicamos ahora la f\u00f3rmula de Newton sacando factor com\u00fan $P^{m\/n}$ a ambos lados de la igualdad tenemos que
\n$$P^{m\/n}(1+Q)^{m\/n}=(P+PQ)^{m\/n}=$$<\/p>\n

$$P^{\\frac{m}{n}}[1+\\frac{m}{n}Q+\\frac{\\left(\\displaystyle\\frac{m}{n}\\right)\\left(\\displaystyle\\frac{m}{n}-1\\right)}{2}Q^2+\\frac{\\left(\\displaystyle\\frac{m}{n}\\right)\\left(\\displaystyle\\frac{m}{n}-1\\right)\\left(\\displaystyle\\frac{m}{n}-2\\right)}{3 \\times 2}Q^3+…]$$<\/p>\n

Finalmente, cancelando $P^{m\/n}$, obtenemos
\n$$(1+Q)^{m\/n}= 1+\\frac{m}{n}Q+\\frac{\\left(\\displaystyle\\frac{m}{n}
\n\\right)\\left(\\displaystyle\\frac{m}{n}-1\\right)}{2}Q^2+\\frac{
\n\\left(\\displaystyle\\frac{m}{n}\\right)
\n\\left(\\displaystyle\\frac{m}{n}-1\\right)\\left(\\displaystyle\\frac{m}{n}-2\\right)}{3 \\times 2}Q^3+\\cdots$$F\u00f3rmula que a todos nos resulta bastante m\u00e1s familiar.<\/p>\n

Resulta un sencillo ejercicio comprobar que la f\u00f3rmula para desarrollar,
\npor ejemplo, la expresi\u00f3n $(1+x)^4$ nos da como resultado y como no pod\u00eda ser de otra manera la expresi\u00f3n $$(1+x)^4=1+4x+6x^2+4x^3+x^4$$<\/p>\n

Cuando trabajamos con exponentes negativos o fraccionarios, por ejemplo si aplicamos la f\u00f3rmula de Newton a la expresi\u00f3n
\n$(1+x)^{-3}$ obtenemos $$1+(-3)x+\\frac{(-3)(-4)}{2}x^2+\\frac{(-3)(-4)(-5)}{6}x^3+…$$<\/p>\n

O lo que es lo mismo, $$(1+x)^{-3}=1-3x+6x^2-10x^3+….$$<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Isaac Newton fue el primero en establecer el teorema del binomio para exponentes negativos y fraccionarios. Los libros de texto de secundaria suelen llamar binomio de Newton a la conocida f\u00f3rmula para desarrollar $(a+b)^n$ cuando n es natural, si bien esta f\u00f3rmula ya era conocida desde la antig\u00fcedad. El verdadero descubrimiento de Newton, y el… Seguir leyendo Primeros desarrollos en serie (I)<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[6],"tags":[268,364],"class_list":["post-2042","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-historia","tag-newton","tag-xvii","entry"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/2042","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/3"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=2042"}],"version-history":[{"count":0,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/2042\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=2042"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=2042"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=2042"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}