{"id":2090,"date":"2011-02-21T20:22:45","date_gmt":"2011-02-21T18:22:45","guid":{"rendered":"http:\/\/laaventuradelasmatematicas.jesussoto.es\/?p=2090"},"modified":"2011-02-21T20:22:45","modified_gmt":"2011-02-21T18:22:45","slug":"primeros-desarrollos-en-serie-vi","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/?p=2090","title":{"rendered":"Primeros desarrollos en serie (VI)"},"content":{"rendered":"<p>En la tercera parte de <em>Logarithmotechnia<\/em> Mercator demuestra la f\u00f3rmula ya conocida por Newton, $$\\log(1+x)=x-\\frac{x^2}{2}+\\frac{x^3}{3}-\\frac{x^4}{4}+\\cdot\\cdot\\cdot$$<br \/>\npara el \u00e1rea encerrada bajo la hip\u00e9rbola.<\/p>\n<p>Mercator termina su obra con una conclusi\u00f3n extremadamente atrevida, sumando infinitos segmentos de hip\u00e9rbola asegura que $$\\int_0^x\\log(1+t)dt=\\frac{x^2}{1\\cdot2}-\\frac{x^3}{2\\cdot3}+\\frac{x^4}{3\\cdot4}-\\frac{x^5}{4\\cdot5}+\\cdots$$<\/p>\n<p>M\u00e1s all\u00e1 del debate de qui\u00e9n fue el primero en encontrar la f\u00f3rmula, cosa que nunca podremos saber con exactitud, si que debemos decir que Newton contaba s\u00f3lo con 24 a\u00f1os mientras que Mercator ten\u00eda unos 47, y que mientras que para Mercator este fue quiz\u00e1s su resultado m\u00e1s importante, para Newton fue s\u00f3lo el inicio.<\/p>\n<p>Es de destacar que Mercator no expresa esta f\u00f3rmula tal y como la hemos escrito aqu\u00ed usando una notaci\u00f3n conocida y actual, sino que la expres\u00f3 enteramente con palabras. Para llegar a este resultado Mercator comenz\u00f3 con la igualdad $$\\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3\\cdots$$ igualdad que obtiene mediante divisiones de la siguiente manera:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-2091 aligncenter\" title=\"mercator1\" src=\"http:\/\/laaventuradelasmatematicas.jesussoto.es\/wp-content\/uploads\/2011\/02\/mercator1.png\" alt=\"\" width=\"297\" height=\"200\" \/><\/p>\n<p>En algunos textos se afirma de manera totalmente equivocada, que a partir de la expresi\u00f3n anterior Mercator obtuvo integrando t\u00e9rmino a t\u00e9rmino la serie logar\u00edtmica. Nada m\u00e1s lejos de la realidad, ya que Mercator utiliz\u00f3 una t\u00e9cnia similar a la de los indivisibles de Cavalieri.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>En la tercera parte de Logarithmotechnia Mercator demuestra la f\u00f3rmula ya conocida por Newton, $$\\log(1+x)=x-\\frac{x^2}{2}+\\frac{x^3}{3}-\\frac{x^4}{4}+\\cdot\\cdot\\cdot$$ para el \u00e1rea encerrada bajo la hip\u00e9rbola. Mercator termina su obra con una conclusi\u00f3n extremadamente atrevida, sumando infinitos segmentos de hip\u00e9rbola asegura que $$\\int_0^x\\log(1+t)dt=\\frac{x^2}{1\\cdot2}-\\frac{x^3}{2\\cdot3}+\\frac{x^4}{3\\cdot4}-\\frac{x^5}{4\\cdot5}+\\cdots$$ M\u00e1s all\u00e1 del debate de qui\u00e9n fue el primero en encontrar la f\u00f3rmula, cosa que nunca&hellip; <a class=\"more-link\" href=\"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/?p=2090\">Seguir leyendo <span class=\"screen-reader-text\">Primeros desarrollos en serie (VI)<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[6],"tags":[216,248,268],"class_list":["post-2090","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-historia","tag-logarithmotechnia","tag-mercator","tag-newton","entry"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/2090","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/3"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=2090"}],"version-history":[{"count":0,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/2090\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=2090"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=2090"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=2090"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}