{"id":3108,"date":"2012-01-28T02:56:23","date_gmt":"2012-01-28T00:56:23","guid":{"rendered":"http:\/\/laaventuradelasmatematicas.jesussoto.es\/?p=3108"},"modified":"2012-01-28T02:56:23","modified_gmt":"2012-01-28T00:56:23","slug":"caspar-wessel-y-la-representacion-geometrica-de-los-complejos","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/?p=3108","title":{"rendered":"Caspar Wessel y la representaci\u00f3n geom\u00e9trica de los complejos"},"content":{"rendered":"

\"\"Se puede ser famoso escribiendo un s\u00f3lo art\u00edculo cuya trascendencia reconozcan tus colegas. Para que as\u00ed sea deben darse algunas coincidencias: que el art\u00edculo se publique en una revista de impacto, que te muevas en el c\u00edrculo adecuado, y, lo m\u00e1s importante, que a ning\u00fan genio se le ocurra tu idea antes de que la comunidad se entere de que la has publicado. En cuyo caso la primicia no te otorga el derecho a la fama.<\/p>\n

Puede que las cosas no sean exactamente as\u00ed. Que publiques en una revista de poco difusi\u00f3n, que no te rodees de matem\u00e1ticos y que alg\u00fan famoso encuentre tu trabajo y lo saque a la luz; pero entonces no estar\u00edamos hablando de \u00a0Caspar Wessel.<\/p>\n

En 1796, Caspar Wessel, hab\u00eda trabajado durante a\u00f1os en cartograf\u00eda: triangulando la posici\u00f3n de su tierra natal, Dinamarca, determinando estudios trigonom\u00e9tricos de ducados… Todo un extenso ejercicio que contribuy\u00f3 al elaboraci\u00f3n del primer mapa exacto del pa\u00eds. Este trabajo le hizo adentrarse en el \u00e1lgebra, la trigonometr\u00eda y la geometr\u00eda, percat\u00e1ndose de una interpretaci\u00f3n que hasta esos d\u00edas nadie hab\u00eda observado. Lo plasm\u00f3 en el \u00fanico art\u00edculo matem\u00e1tico que public\u00f3: Essai sur la repr\u00e9sentation analytique de la direction. En \u00e9l escribe:<\/p>\n

\u201cEl presente art\u00edculo trata la cuesti\u00f3n de c\u00f3mo podemos representar una direcci\u00f3n de forma anal\u00edtica; esto es, c\u00f3mo expresaremos rectas (segmentos rectos) de tal manera que en una ecuaci\u00f3n que arroje como resultado una recta desconocida y otras conocidas, la longitud y la direcci\u00f3n de la recta desconocida puedan ser expresadas.\u201d<\/p>\n

Y puestos a representar decide:<\/p>\n

\u201cSea +1 la unidad rectil\u00ednea positiva y $+\\varepsilon$ otra unidad perpendicular a la unidad positiva tomada antes, teniendo ambas el mismo origen; entonces el \u00e1ngulo de la direcci\u00f3n de +1 resulta igual a 0\u00ba, y por lo tanto para \u22121 es 180\u00ba, para $+\\varepsilon$ es 90\u00ba, y para $-\\varepsilon$ es \u221290\u00ba o 270\u00ba. Por la regla que establece que el \u00e1ngulo de la direcci\u00f3n del producto es igual a la suma de los \u00e1ngulos de los factores, tenemos:$(+1)(+1) = +1; (+1)(\u22121) = \u22121;$ $(\u22121)(\u22121) = +1;$ $(+1)(+\\varepsilon) = +\\varepsilon; (+1)(\u2212\\varepsilon) =$ $ \u2212\\varepsilon; (\u22121)(\u2212\\varepsilon) =+\\varepsilon;$ $ (+\\varepsilon)(+\\varepsilon) = \u22121;$ $ (+\\varepsilon)(\u2212\\varepsilon) = +1;$ $ (\u2212\u01eb)(\u2212\u01eb) = \u22121$. De este resultado se observa que $\\varepsilon$ es igual al $\\sqrt{\u22121}$, y que la divergencia del producto se determina de tal forma que ninguna de las reglas operativas comunes son contravenidas.\u201d<\/p>\n

Wessel acababa de representar los n\u00famero complejos como puntos en el plano, indicando que cualquier segmento recto pod\u00eda representarse mediante $a+b\\varepsilon$, siendo su multiplicaci\u00f3n
\n$$(a+b\\varepsilon)(c+d\\varepsilon)=(ac-bd)+(ad+bc)\\varepsilon.$$<\/p>\n

Hasta aqu\u00ed tenemos para, cuanto menos, nuestros quince minutos de fama, salvo que Caspar Wessel lo public\u00f3 en una revista con muy poco impacto (es decir, sin el JCR de la \u00e9poca), y a todos pas\u00f3 desapercibido.<\/p>\n

Tanto que al franc\u00e9s Jean Robert Argand se le ocurri\u00f3 la misma idea y la ense\u00f1\u00f3 entre los matem\u00e1ticos franceses. Pero, quiz\u00e1s por esos convulsos a\u00f1os 1806-1813, donde Argand present\u00f3 sus ideas, no se difundieron los suficiente para que el mayor genio de las matem\u00e1ticas no le incase el diente, engullendo todo el m\u00e9rito para \u00e9l, dejando al resto sin una menci\u00f3n hasta pasado casi un siglo.<\/p>\n

Carl Friedich Gauss trat\u00f3 los n\u00fameros complejos como puntos en el plano en 1831, omitiendo la idea de segmento y representando el n\u00famero a+bi como (a,b). De modo que sentenci\u00f3:<\/p>\n

\u201cEste tema (de las magnitudes imaginarias) ha sido tratado hasta ahora desde un punto de vista err\u00f3neo, rodeado de una misteriosa oscuridad, y esto es debido a la utilizaci\u00f3n de una notaci\u00f3n inadecuada. Si, por ejemplo, +1, \u22121, $\\sqrt{\u22121}$ hubieran sido denominadas directa, inversa y unidad lateral respectivamente, en lugar de positiva, negativa e imaginaria (o incluso\u00a0imposible) tal oscuridad hubiera estado fuera de lugar.\u201d<\/p>\n

Am\u00e9n.<\/p>\n

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Esta entrada contribuye a la\u00a0Edici\u00f3n 2.X<\/a>\u00a0del\u00a0Carnaval de Matem\u00e1ticas<\/a>, cuyo anfitri\u00f3n es el blogResistencia Numantina<\/a>.<\/em><\/p>\n

Referencias<\/h3>\n