{"id":3460,"date":"2012-09-25T22:42:14","date_gmt":"2012-09-25T22:42:14","guid":{"rendered":"http:\/\/pimedios.es\/?p=3460"},"modified":"2012-09-25T23:03:55","modified_gmt":"2012-09-25T23:03:55","slug":"existe-el-conjunto-universal","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/?p=3460","title":{"rendered":"\u00bfExiste el conjunto Universal?"},"content":{"rendered":"

\"\"Ya estamos a comienzo del curso lectivo, y que mejor para empezar que una de esas paradojas que nos hacen meditar sobre la complicaci\u00f3n que plantean algunas preguntas sencillas. En este caso la pregunta es: \u00bfexiste el conjunto Universal?; es decir, el conjunto que contengan a todos los conjuntos.<\/p>\n

Hace casi un a\u00f1o plante\u00e1bamos en estas p\u00e1ginas la paradoja de Sancho Panza<\/a>, como introducci\u00f3n a la pregunta: \u00bfqu\u00e9 es un conjunto? Hoy el problema es similar, si existen los conjuntos, por qu\u00e9 no ha de existir el conjunto de todos ellos.<\/p>\n

Abordemos el problema desde la naturaleza de su cardinal. Sin entrar en el detalle de todas nuestras afirmaciones (cosa que se deja para el lector, recodar que el prop\u00f3sito es despertar la curiosidad), \u00a0asumiremos que es cierta la proposici\u00f3n:<\/p>\n

El cardinal de las partes de un conjunto \u00a0cualquiera $A$, es estrictamente mayor que el cardinal del conjunto $A$.<\/p><\/blockquote>\n

Escrito en t\u00e9rminos matem\u00e1ticos: $|A|<\\wp(A)|$ .<\/p>\n

Ahora bien, si designamos por $U$ el conjunto universal, al ser las partes de $U$, $\\wp(U)$, un conjunto, se cumple que\u00a0$\\wp(U)\\subseteq U$, y por tanto,\u00a0$|\\wp(U)|\\leq |U|$. Pero por definici\u00f3n de las partes de un conjunto\u00a0$U\\subseteq\u00a0\\wp(U)$, luego\u00a0$|U|\\leq\u00a0\\wp(U)|$.<\/p>\n

Felix Bernstein<\/a>\u00a0prob\u00f3 que si dos conjuntos cumplen que\u00a0$|A|\\leq |B|$ y\u00a0\u00a0$|B|\\leq |A|$, entonces ambos tiene el mismo cardinal. Por tanto, de\u00a0$|\\wp(U)|\\leq |U|$ y \u00a0$|U|\\leq \\wp(U)|$, concluimos que\u00a0$|U|=|\\wp(U)|$. \u00a1Oh, contradicci\u00f3n!, pues la proposici\u00f3n afirma que el cardinal debe ser distinto.<\/p>\n

Ahora surge las dudas del alumno: \u00abpero, si no puedo construir el conjunto de todos los conjuntos… \u00bfqu\u00e9 conjuntos puedo construir?\u00bb. Muy sencillo, aquellos con los que trabajemos en clase, \u00a0los dem\u00e1s se los dejaremos a los te\u00f3ricos de la Teor\u00eda de Conjuntos.<\/p>\n

Aportaci\u00f3n a la\u00a0Edici\u00f3n 3,141592<\/a>\u00a0del\u00a0Carnaval de Matem\u00e1ticas<\/a>, que en esta ocasi\u00f3n organiza\u00a0ZTFNews<\/a>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

\u00bfExiste el conjunto Universal?; es decir, el conjunto que contengan a todos los conjuntos. Probaremos que no existe dicho conjunto.<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[8],"tags":[380,381],"class_list":["post-3460","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-ocio","tag-conjuntos","tag-felix-bernstein","entry"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3460","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=3460"}],"version-history":[{"count":8,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3460\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3465,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3460\/revisions\/3465"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=3460"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=3460"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=3460"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}