![\"elteoremadegodel\"](\"http:\/\/pimedios.es\/wp-content\/uploads\/2013\/02\/elteoremadegodel.jpg\")
El pasado 23 de enero,\u00a0dentro de las actividades programadas en el Congreso RSME2013,\u00a0\u00a0presentaci\u00f3n del libro \u201cEl teorema de G\u00f6del, una aproximaci\u00f3n a la verdad matem\u00e1tica\u201d. El autor es Josep Pl\u00e0, reconocido especialista en l\u00f3gica algebraica e historia de las matem\u00e1ticas de la Universitat de Barcelona.<\/p>\n
Aprovechado la publicaci\u00f3n le solicitamos al autor unas lineas sobre el libro. Os dejamos una parte de lo que el autor nos ha comentado sobre qu\u00e9 encontraremos en este libro.<\/p>\n
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Algunos v\u00ednculos <\/b><\/p>\n
entre el teorema de G\u00f6del de 1931 <\/b><\/p>\n
y el resultado de Turing de 1936 [I]<\/b><\/p>\n
\u00a0<\/b><\/p>\n
En su obra de 1899, Grundlagen der Geometrie<\/i>, David Hilbert (1862-1943) plantea ya algunos de los \u00edtems de lo que, desde entonces, ir\u00e1 consolid\u00e1ndose como su formalismo <\/i>o teor\u00eda de la demostraci\u00f3n<\/i>. Ciertas partes \u201cesenciales\u201d de la matem\u00e1tica \u2014geometr\u00eda, aritm\u00e9tica, topolog\u00eda, etc.\u2014 deben tratarse en un lenguaje formal a partir de unos axiomas \u2018ad hoc\u2019\u00a0 que son los que configuran los objetos de la teor\u00eda y las interrelaciones que coexisten entre ellos. De hecho, en una presentaci\u00f3n excesivamente r\u00edgida, los \u2018objetos sem\u00e1nticos\u2019 que se amagan detr\u00e1s de los \u2018objetos formales\u2019 carece de importancia: \u201cNo importa si se trata de puntos, rectas, planos o de mesas, sillas o jarras de cerveza\u201d. Aparece aqu\u00ed, agazapada, la distinci\u00f3n entre \u2018teor\u00eda formal\u2019 y \u2018matem\u00e1tica formalizada\u2019.<\/p>\n
Este planteamiento lleva \u00ednsito que el sistema axiom\u00e1tico formal responda a algunas caracter\u00edsticas importantes, cuales son: la independencia de los axiomas <\/i>(que le dan un car\u00e1cter minimal que, sin ser esencial, es importante en este contexto por lo que tiene de clarificador), su completitud <\/i>(los axiomas se eligen de manera que recojan toda la potencialidad de la \u2018matem\u00e1tica\u2019 que se formaliza: \u201ctodo lo que, en dicha matem\u00e1tica. es cierto la axiom\u00e1tica debe permitirnos demostrarlo\u201d), su consistencia <\/i>(la \u201ccaracter\u00edstica esencial\u201d y que dota de \u2018existencia\u2019 a los objetos de la teor\u00eda)[1]<\/a>.<\/p>\n En el texto de l\u00f3gica que publicara junto con Wilhelm Ackermann (1896 -1962), Grundz\u00fcge der theoretischen Logik <\/i>(1928), se plantea una nueva cuesti\u00f3n que, en cualquier caso, debe \u2018cuestionarse\u2019: el \u201cEntscheidungsproblem\u201d o \u201cproblema de la decisi\u00f3n\u201d: \u00bfCabe un \u2018algoritmo\u2019 que \u2018decida\u2019 si una f\u00f3rmula bien formada del lenguaje formal es un teorema de una teor\u00eda formal concreta?; y, en concreto, \u201cel c\u00e1lculo de predicados de primer orden es decidible o indecidible\u201d. Lo plantean, como ya lo hiciera Hilbert en 1900 en el enunciado del problema 10 o \u2018problema diof\u00e1ntico\u2019 en su lecci\u00f3n se\u00f1era del \u201cCongreso Internacional de Matem\u00e1ticas de Par\u00eds\u201d, antes de que nadie hubiese elaborado una definici\u00f3n matem\u00e1tica precisa del concepto de \u2018algoritmo\u2019.<\/p>\n En 1930, Kurt G\u00f6del (1906-1978) demostrar\u00eda la \u2018completitud\u2019 del c\u00e1lculo de predicados de primer orden: \u201cTodo lo que se puede demostrar es verdadero y todo lo que es verdadero se puede demostrar\u201d.[2]<\/a> Este teorema hace referencia a la \u2018l\u00f3gica\u2019 pero carece de lo que podr\u00edamos llamar \u2018contenido matem\u00e1tico\u2019. El resultado, an\u00e1logo en el c\u00e1lculo de pro-posiciones, establecido por \u00c9mil Post [1897-1954] en 1921, pod\u00eda hacer pensar que quiz\u00e1s aquel c\u00e1lculo, como lo era \u00e9ste, ser\u00eda decidible.<\/p>\n [1]<\/a> El lector interesado puede ampliar esta presentaci\u00f3n en Pla i Carrera, J. (2013), cap\u00edtulo 7, p\u00e1gs.145-161.<\/p>\n<\/div>\n [2]<\/a> Para disponer, sin embargo, de la \u2018definici\u00f3n\u2019 precisa de \u2018verdad\u2019 o \u2018validez\u2019 habr\u00eda que esperar al genial art\u00edculo de Alfred Tarski [1902-1983] de 1936. V\u00e9ase Pla i Carrera, J. (2013), p\u00e1gs.185-191.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" El pasado 23 de enero,\u00a0dentro de las actividades programadas en el Congreso RSME2013,\u00a0\u00a0presentaci\u00f3n del libro \u201cEl teorema de G\u00f6del, una aproximaci\u00f3n a la verdad matem\u00e1tica\u201d. 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