Las cantidades infinitamente peque\u00f1as (\u00abcantidades divisibles evanescentes\u00bb seg\u00fan Newton, \u00abcantidades incipientes \u201ca\u00fan no formadas\u201d\u00bb seg\u00fan Leibniz) constituyen la pieza fundamental para la creaci\u00f3n del c\u00e1lculo, pero tambi\u00e9n su punto m\u00e1s d\u00e9bil y el blanco de todas las cr\u00edticas. Consideradas al principio de forma est\u00e1tica como cantidades fijas de valor m\u00e1s peque\u00f1o que cualquier n\u00famero conocido pero nunca nulas, la concepci\u00f3n final adquiri\u00f3 un car\u00e1cter din\u00e1mico: cantidades que pod\u00edan hacerse tan peque\u00f1as como se quisiera.<\/p>\n
Leibniz y sus seguidores (hermanos Bernouilli, marqu\u00e9s de L\u201fH\u00f4pital, Euler…), cuya notaci\u00f3n y lenguaje se impusieron en el c\u00e1lculo diferencial, llamaban diferencial de una magnitud a la variaci\u00f3n infinitesimal de esa magnitud ($y$) (su \u00abmomento\u00bb, en palabras de Newton). Si ($dy$) hubiese podido tomar un valor macrosc\u00f3pico, no habr\u00eda coincidido con $\\Delta y$ , pero, como s\u00f3lo se le adjudicaban valores infinitamente peque\u00f1os, en ese rango se identificaba con $\\Delta y$ y sin cometer error alguno. As\u00ed, la diferencial de la posici\u00f3n ($de$), aunque en t\u00e9rminos macrosc\u00f3picos no correspond\u00eda a ning\u00fan desplazamiento, pod\u00eda identificarse con el desplazamiento ocurrido en un intervalo de tiempo infinitamente peque\u00f1o ($dt$).<\/p>\n
La diferencial ocupaba un lugar central en la estructura del c\u00e1lculo y se utilizaba para sustituir el incremento para calcular la derivada (definida como el cociente de incrementos muy peque\u00f1os) y la integral (definida como una suma de infinitos incrementos muy peque\u00f1os). Los siguientes ejemplos ilustran el uso original de Newton y Leibniz de esas cantidades en sus c\u00e1lculos y razonamientos, que ellos planteaban siempre en clave geom\u00e9trica:<\/p>\n
Para calcular la derivada de la funci\u00f3n $y=x^2$, consideraban que una variaci\u00f3n infinitesimal $dx$ producir\u00eda una variaci\u00f3n tambi\u00e9n infinitesimal $dy$: $$y+dy=(x+dx)^2=x^2+2xdx+dx^2;$$ por tanto: $$dy=2xdx+dx^2.$$ Despu\u00e9s divid\u00edan ambos miembros por $dx$: $$\\frac{dy}{dx}=2x+dx,$$ y s\u00f3lo en este momento despreciaban los sumandos infinitesimales, obteniendo: $$\\frac{dy}{dx}=2x.$$<\/p>\n
Para demostrar la relaci\u00f3n inversa entre la derivaci\u00f3n y el c\u00e1lculo de \u00e1reas $A(x)$ bajo curvas $y(x)$, consideraban que una variaci\u00f3n infinitesimal $dx$ producir\u00eda una variaci\u00f3n infinitesimal $dA$, la cual pod\u00eda aproximarse por el rect\u00e1ngulo de altura $y(x)$ y base dx, resultando: $$dA=ydx;$$ dividiendo ambos miembros por $dx$ , obten\u00edan la relaci\u00f3n b\u00e1sica $$\\frac{dA}{dx}=y.$$<\/p>\n
Para ellos, por ejemplo, de ser\u00eda un desplazamiento infinitesimal producido en el intervalo infinitesimal de tiempo dt (que, aunque no era \u2206e, pod\u00eda sustituirlo en ese intervalo tan peque\u00f1o) y la rapidez instant\u00e1nea, el cociente entre estas cantidades infinitesimales. Como puede apreciarse, el uso de los infinitesimales presentaba ciertas ventajas: se escrib\u00eda como igualdad lo que s\u00f3lo pod\u00eda considerarse como aproximaci\u00f3n si se utilizaban \u00abincrementos finitos\u00bb \u2013lo que resulta \u00abdoloroso\u00bb para un matem\u00e1tico actual, como se\u00f1ala Freudenthal (1973)\u2013.<\/p>\n
\u2013 \u00bfCon qu\u00e9 criterio se pasa de escribir una expresi\u00f3n s\u00f3lo aproximada en t\u00e9rminos de incrementos a otra exacta en t\u00e9rminos de diferenciales? \u00bfPuede realizarse este paso para cualquier expresi\u00f3n? En el ejemplo citado m\u00e1s arriba, se aproxima el \u00e1rea de la curva por la de un rect\u00e1ngulo ($\\Delta A\\approx y\\cdot dx$) e inmediatamente se escribe como igualdad en t\u00e9rminos de diferenciales ($dA= y\\cdot dx$); pero no se trata de una deducci\u00f3n sino de una definici\u00f3n. No obstante, cuando se aplica esta definici\u00f3n para el c\u00e1lculo del \u00e1rea de la superficie de un cuerpo geom\u00e9trico concreto, aparecen distintas alternativas entre las que hay que escoger. Por ejemplo, cuando se desea hallar la expresi\u00f3n funcional exacta de la superficie de una esfera, puede estimarse $\\Delta A$ mediante sumas de superficies cil\u00edndricas infinitesimales o de superficies troncoc\u00f3nicas, lo que hace que no sea evidente cu\u00e1l elegir como expresi\u00f3n para la diferencial Artigue y Viennot, (1987), y se obtienen resultados distintos. \u00bfC\u00f3mo determinar la expresi\u00f3n diferencial? Menos evidente resulta en la mayor\u00eda de los problemas f\u00edsicos, en los que son posibles muchas expresiones de partida que relacionan incrementos muy peque\u00f1os de forma aproximada. \u00abLa idea intuitiva de que la suma de infinitos \u201ctrocitos\u201d infinitamente peque\u00f1os dar\u00e1 lugar al trozo grande deseado sin importar la \u201cforma\u201d de los trocitos fallaba en muchas ocasiones\u00bb, conduciendo a resultados absurdos como los citados por Schneider (1991).<\/p>\n
Newton y Leibniz fueron incapaces de responder con claridad a estas cr\u00edticas y objeciones debido, en gran parte, a la falta de una definici\u00f3n precisa del concepto de l\u00edmite. En los \u00faltimos trabajos de Newton existe un intento de abandonar el uso de los infinitesimales. \u00ab[…] En matem\u00e1ticas no se deben despreciar ni los errores m\u00e1s diminutos\u00bb, citado por Kline, (1972). Pero, todo era un intento formal para evitar contradicciones, ya que, como criticaba Berkeley, \u00abal final es preciso volver a la idea de los incrementos evanescentes\u00bb Edwards, (1937). Por su parte, Leibniz reconoce en alguna ocasi\u00f3n que \u00e9l \u00abno cree en magnitudes verdaderamente infinitas o verdaderamente infinitesimales\u00bb Kline, (1972); no obstante, defiende su uso por una cuesti\u00f3n meramente pr\u00e1ctica, considerando los s\u00edmbolos empleados \u00abficciones \u00fatiles para abreviar y hablar universalmente\u00bb Edwards, (1937). En su r\u00e9plica a las cr\u00edticas del f\u00edsico Nieuwentijdt, el propio Leibniz afirma: \u00abSe pueden utilizar estos entes \u00faltimos \u2013esto es, cantidades infinitas e infinitamente peque\u00f1as\u2013 como un instrumento, en la misma forma en que los algebristas utilizaban las ra\u00edces imaginarias con gran provecho\u00bb Kline, (1972).<\/p>\n
Este breve relato hist\u00f3rico muestra que el concepto de diferencial, identificado con un incremento infinitesimal, favoreci\u00f3 la construcci\u00f3n del c\u00e1lculo y supuso un gran avance en la soluci\u00f3n de problemas f\u00edsicos. Sin embargo, ese mismo relato muestra tambi\u00e9n que esa definici\u00f3n de diferencial es insuficiente, no s\u00f3lo por la falta de argumentos para explicar c\u00f3mo y por qu\u00e9 funciona el c\u00e1lculo, sino porque en muchas ocasiones conduce a resultados err\u00f3neos. En particular, la creencia err\u00f3nea de que toda expresi\u00f3n aproximada del incremento puede considerarse exacta en intervalos infinitamente peque\u00f1os \u2013es decir, cuando se transforma en una expresi\u00f3n diferencial\u2013 les imped\u00eda comprender por qu\u00e9 en unas ocasiones fallaba el algoritmo y en otras no, lo que gener\u00f3 inseguridad entre matem\u00e1ticos y f\u00edsicos de la \u00e9poca. El \u00e9xito obtenido por la aplicaci\u00f3n del c\u00e1lculo para resolver una gran cantidad de problemas, junto a la falta de comprensi\u00f3n y justificaci\u00f3n de lo que se hac\u00eda, le imprimi\u00f3 un car\u00e1cter de estrategia mec\u00e1nica y repetitiva, m\u00e1s preocupada por el seguimiento fiel de algoritmos que por el significado, que \u2013seg\u00fan las referencias citadas\u2013 todav\u00eda hoy perdura.<\/p>\n
Los resultados presentados en otros trabajos Artigue, (1986); Mart\u00ednez Torregrosa y L\u00f3pez-Gay, (1992, 1993, 1997); L\u00f3pez-Gay et al., (2001) indican que esta concepci\u00f3n hist\u00f3rica y la actitud mec\u00e1nica a la que conduce es dominante en la ense\u00f1anza habitual. Aunque la diferencial de Leibniz, con sus dificultades y contradicciones, supuso un enorme avance para la comprensi\u00f3n y el estudio de la f\u00edsica, el mantenimiento de esta misma concepci\u00f3n (la diferencial de una funci\u00f3n como cantidad infinitesimal que se aproxima al incremento infinitesimal de la funci\u00f3n, pudiendo sustituirlo), en la ense\u00f1anza, tres siglos despu\u00e9s, una vez que sabemos que es una concepci\u00f3n err\u00f3nea, no parece ser lo m\u00e1s adecuado para promover la comprensi\u00f3n, la confianza y la autonom\u00eda en los estudiantes.<\/p>\n
(Continua en la siguiente entrada)<\/em><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Las cantidades infinitamente peque\u00f1as (\u00abcantidades divisibles evanescentes\u00bb seg\u00fan Newton, \u00abcantidades incipientes \u201ca\u00fan no formadas\u201d\u00bb seg\u00fan Leibniz) constituyen la pieza fundamental para la creaci\u00f3n del c\u00e1lculo, pero tambi\u00e9n su punto m\u00e1s d\u00e9bil y el blanco de todas las cr\u00edticas. Consideradas al principio de forma est\u00e1tica como cantidades fijas de valor m\u00e1s peque\u00f1o que cualquier n\u00famero conocido… Seguir leyendo La diferencial de Leibniz<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":5,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[6,10],"tags":[209],"class_list":["post-3728","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-historia","category-web","tag-leibniz","entry"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3728","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/5"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=3728"}],"version-history":[{"count":3,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3728\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3736,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3728\/revisions\/3736"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=3728"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=3728"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=3728"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}