Consciente de las imprecisiones y las ambig\u00fcedades del uso del infinito e infinitesimales, Lagrange convoc\u00f3 en 1784, en la Academia de Berl\u00edn, un concurso para reemplazar tales nociones sin perder simplicidad en los razonamientos. Ante la falta de respuestas satisfactorias, public\u00f3 su propia soluci\u00f3n: una teor\u00eda de las funciones anal\u00edticas que liberaba el c\u00e1lculo diferencial de los infinitamente peque\u00f1os y colocaba la noci\u00f3n de derivada en un lugar preeminente. Pero, como ya les hab\u00eda ocurrido a otros antes, no se trataba m\u00e1s que de un desarrollo te\u00f3rico, pues en el momento de las aplicaciones f\u00edsicas, como se refleja en su mec\u00e1nica anal\u00edtica, Lagrange recuperaba el uso de la diferencial y de los infinitamente peque\u00f1os Laugwitz, (1997). La justificaci\u00f3n rigurosa del c\u00e1lculo lleg\u00f3 de la mano del matem\u00e1tico franc\u00e9s Cauchy, en la primera mitad del siglo XIX, quien, a partir de un mejor conocimiento del concepto de l\u00edmite y del conjunto de los n\u00fameros reales, formul\u00f3 una definici\u00f3n precisa de las cantidades infinitesimales, de la derivada y la integral. En cuanto a la diferencial, dej\u00f3 de identificarse con un incremento infinitesimal, se vaci\u00f3 de todo significado f\u00edsico y pas\u00f3 a ocupar un lugar marginal en la estructura del c\u00e1lculo. Cauchy define la cantidad infinitamente peque\u00f1a como una variable cuyo valor num\u00e9rico decrece indefinidamente de manera que converge hacia el l\u00edmite cero Cauchy, (1821), lo que resulta ya suficiente para superar algunas de las objeciones que se hab\u00edan formulado en los siglos anteriores.<\/p>\n
La definici\u00f3n de l\u00edmite proporcionaba tambi\u00e9n una definici\u00f3n precisa de la derivada y la integral, y un procedimiento no ambiguo para calcularlas. La derivada se defini\u00f3 como \u00abel l\u00edmite de un cociente de incrementos\u00bb; la integral, que hab\u00eda sido reducida en la pr\u00e1ctica a la operaci\u00f3n inversa de la derivaci\u00f3n despu\u00e9s del enunciado del teorema fundamental, recuper\u00f3 con Cauchy el importante papel que hab\u00eda jugado durante la primera mitad del siglo XVII y se defini\u00f3 como \u00abel l\u00edmite de una serie de sumas\u00bb. Para el c\u00e1lculo de ambas, se part\u00eda de una relaci\u00f3n entre incrementos, aunque fuese aproximada, y despu\u00e9s se calculaba el l\u00edmite de un cociente o de una suma.<\/p>\n
De esta forma, la diferencial no era ya necesaria para definir y calcular derivadas e integrales. Adem\u00e1s, como el incremento de cualquier funci\u00f3n continua obedece a la definici\u00f3n formal de infinitesimal, no tiene sentido utilizar el t\u00e9rmino diferencial para referirse al incremento (infinitesimal) de una funci\u00f3n. Si a esto se a\u00f1ade la sospecha acumulada a lo largo de los a\u00f1os sobre la diferencial y los infinitesimales de servir de base a tratamientos matem\u00e1ticos poco rigurosos, el terreno resultaba claramente abonado para que la diferencial quedase relegada a un papel marginal en el nuevo marco te\u00f3rico del c\u00e1lculo. Cauchy defini\u00f3 la diferencial como una expresi\u00f3n construida a partir de la derivada: $df=f'(x)dx$, siendo $dx$ un incremento arbitrario (grande o peque\u00f1o) de la variable y pas\u00f3 a convertirse as\u00ed en un simple instrumento formal, necesario para justificar y abreviar ciertas demostraciones. Se desprendi\u00f3, entonces, a la diferencial de la ambig\u00fcedad de los infinitamente peque\u00f1os, pero al mismo tiempo qued\u00f3 desprovista de cualquier significado f\u00edsico o intuitivo propio: simplemente era el producto de la derivada por el incremento de la variable independiente. Como afirma Freudenthal (1973): \u00abDiferenciales in\u00fatiles pueden ser despedidas de inmediato. Si $dy,dx$ aparecen s\u00f3lo en la combinaci\u00f3n $\\frac{dy}{dx}$ o bajo el signo integral despu\u00e9s del integrando, la pregunta sobre qu\u00e9 significan individualmente $dx,dy$ es equivalente a preguntarse qu\u00e9 significan las letras l, o, g, en log\u00bb.<\/p>\n
Resulta evidente que la aportaci\u00f3n de Cauchy no es suficiente para superar la sensaci\u00f3n de inseguridad y la actitud mec\u00e1nica cuando se usa el c\u00e1lculo en las aplicaciones f\u00edsicas, e incluso lo agrava al vaciar de significado un concepto tan importante para tales aplicaciones como es el de diferencial. Es necesario, pues, llevar a cabo una clarificaci\u00f3n que consiga reconciliar, por un lado, la estrecha vinculaci\u00f3n con las situaciones f\u00edsicas de las expresiones diferenciales de Leibniz y Newton, y por otro el rigor y la precisi\u00f3n de su significado, saliendo al paso de la situaci\u00f3n descrita por Freudenthal (1973): \u00abEs una situaci\u00f3n imposible que el matem\u00e1tico ense\u00f1e unas matem\u00e1ticas que no pueden ser aplicadas y el f\u00edsico aplique unas matem\u00e1ticas que no pueden ser ense\u00f1adas por el matem\u00e1tico.\u00bb<\/p>\n
Este papel reconciliador lo ha jugado la concepci\u00f3n de diferencial introducida, en 1911, por el matem\u00e1tico franc\u00e9s Fr\u00e9chet , seg\u00fan Artigue, (1989), para superar algunas deficiencias de la definici\u00f3n de Cauchy cuando se trataba de extender el an\u00e1lisis a funciones de varias e incluso infinitas variables Alibert et al., (1987). Esta nueva definici\u00f3n (invenci\u00f3n) de diferencial recupera un significado propio y preciso de gran inter\u00e9s f\u00edsico y geom\u00e9trico sin p\u00e9rdida de rigor. <\/p>\n
Extra\u00eddo de EL APRENDIZAJE BASADO EN PROBLEMAS (ABP) COMO ESTRAT\u00c9GIA METODOL\u00d3GICA DE ENSE\u00d1ANZA Y APRENDIZAJE DE LA INTEGRAL INDEFINIDA EN PARALELO CON DERIVADAS Y SU INCIDENCIA EN EL RENDIMIENTO ACADEMICO DE LOS ESTUDIANTES DE INGENIER\u00cdA EN INFORM\u00c1TICA DE INACAP, de Patricia Rojas Salinas.<\/em><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Consciente de las imprecisiones y las ambig\u00fcedades del uso del infinito e infinitesimales, Lagrange convoc\u00f3 en 1784, en la Academia de Berl\u00edn, un concurso para reemplazar tales nociones sin perder simplicidad en los razonamientos. Ante la falta de respuestas satisfactorias, public\u00f3 su propia soluci\u00f3n: una teor\u00eda de las funciones anal\u00edticas que liberaba el c\u00e1lculo diferencial… Seguir leyendo La diferencial de Cauchy<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":5,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[6,10],"tags":[],"class_list":["post-3730","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-historia","category-web","entry"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3730","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/5"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=3730"}],"version-history":[{"count":3,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3730\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3737,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3730\/revisions\/3737"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=3730"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=3730"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=3730"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}