{"id":3760,"date":"2013-04-04T21:47:42","date_gmt":"2013-04-04T21:47:42","guid":{"rendered":"http:\/\/pimedios.es\/?p=3760"},"modified":"2013-04-04T21:51:46","modified_gmt":"2013-04-04T21:51:46","slug":"area-de-una-esfera","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/?p=3760","title":{"rendered":"\u00c1rea de una esfera"},"content":{"rendered":"<p>Un bonito ejemplo de como deducir de manera sencilla el \u00e1rea de una esfera es el siguiente. Sabemos que el volumen de una esfera es $$V_S=\\frac{4}{3}\\pi R^3,$$ quien tenga dudas que vea la demostraci\u00f3n de Arqu\u00edmedes que expuso gaussianos, <a href=\"http:\/\/gaussianos.com\/el-volumen-de-la-esfera\/\" target=\"_blank\">El volumen de la esfera<\/a>.<\/p>\n<p>Otra manera de ver este volumen es como una composici\u00f3n de pir\u00e1mides triangulares, que unidas todas desde el centro dar\u00edan forma de una esfera.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-3762 aligncenter\" alt=\"sphere-pyramids\" src=\"http:\/\/pimedios.es\/wp-content\/uploads\/2013\/04\/sphere-pyramids.png\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/wp-content\/uploads\/2013\/04\/sphere-pyramids.png 300w, http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/wp-content\/uploads\/2013\/04\/sphere-pyramids-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/p>\n<p>Est\u00e1 claro que esta representaci\u00f3n no es la esfera, pero se aproxima. De hecho, si hacemos tender el numero de pir\u00e1mides al infinito alcanzar\u00edamos a la esfera. Esto significa que la suma de los vol\u00famenes de las infinitas pir\u00e1mides coincidir\u00eda con el volumen de la esfera: $$V_S=\\sum_{n\\to\\infty}V_P(n).$$<br \/>\nSi hacemos todas la pir\u00e1mides triangulares del mismo tama\u00f1o, con la misma base triangular, el volumen de cada pir\u00e1mide triangular ser\u00e1: $$\\frac{1}{3}A_{base}R.$$ En consecuencia $$V_S=\\sum_{n\\to\\infty}V_P(n)=\\sum_{n\\to\\infty}\\frac{R}{3}A_{base}(n)=\\frac{R}{3}\\sum_{n\\to\\infty}A_{base}(n).$$<br \/>\nEn el infinito la suma de las \u00e1reas de todas las bases, aunque estas tiendan a empeque\u00f1ecer, se igualar\u00edan al \u00e1rea de la superficie de la esfera, $A_S$. Luego<br \/>\n$$V_S=\\frac{R}{3}\\sum_{n\\to\\infty}A_{base}(n)=\\frac{R}{3}A_S,$$ y como sabemos que $$V_S=\\frac{3}{4}\\pi R^3,$$ resulta pues<br \/>\n$$\\frac{4}{3}\\pi R^3=\\frac{R}{3}A_S\\,\\,\\Rightarrow\\,\\, A_S={4}\\pi R^2.$$<\/p>\n<p>Esta sencilla demostraci\u00f3n la he visto en <a href=\"http:\/\/blog.zacharyabel.com\/2012\/01\/spherical-surfaces-and-hat-boxes\/\" target=\"_blank\">Spherical Surfaces and Hat Boxes<\/a>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Un bonito ejemplo de como deducir de manera sencilla el \u00e1rea de una esfera es el siguiente. Sabemos que el volumen de una esfera es $$V_S=\\frac{4}{3}\\pi R^3,$$ quien tenga dudas que vea la demostraci\u00f3n de Arqu\u00edmedes que expuso gaussianos, El volumen de la esfera. Otra manera de ver este volumen es como una composici\u00f3n de&hellip; <a class=\"more-link\" href=\"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/?p=3760\">Seguir leyendo <span class=\"screen-reader-text\">\u00c1rea de una esfera<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[8],"tags":[35,438],"class_list":["post-3760","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-ocio","tag-arquimedes","tag-esfera","entry"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3760","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=3760"}],"version-history":[{"count":3,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3760\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3764,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3760\/revisions\/3764"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=3760"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=3760"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=3760"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}