{"id":3955,"date":"2013-10-14T00:28:06","date_gmt":"2013-10-13T22:28:06","guid":{"rendered":"http:\/\/pimedios.es\/?p=3955"},"modified":"2013-10-10T18:53:33","modified_gmt":"2013-10-10T16:53:33","slug":"goldbach-fermat","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/?p=3955","title":{"rendered":"\u00bfContradijo Goldbach a Fermat?"},"content":{"rendered":"<figure style=\"width: 316px\" class=\"wp-caption alignleft\"><a href=\"http:\/\/de.wikipedia.org\/wiki\/Christian_Goldbach\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"  \" alt=\"\" src=\"http:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/1\/18\/Letter_Goldbaxh-Euler.jpg\" width=\"316\" height=\"324\" \/><\/a><figcaption class=\"wp-caption-text\">Carta de Christian Goldbach a Leonhard Euler, 7 de junio de 1742.<\/figcaption><\/figure>\n<p>En 1730 Goldbach y Euler se carteaban acerca de problemas matem\u00e1ticos. De la correspondencia mantenida durante a\u00f1os surgi\u00f3 la conjetura de Goldbach(1742). Pero volvamos a 1730 y la carta de Goldbach cuando le plantea a Euler como los n\u00fameros de Fermat ($F_n=2^{2^n}+1$) cumplen la recurrencia $$\\prod_{k=0}^{n-1}F_k=F_n-2.$$<\/p>\n<p>He le\u00eddo en varios sitios que esta relaci\u00f3n indujo a Goldbach a justificar la infinitud de los n\u00fameros primos al observar que dos n\u00fameros de Fermat distintos son coprimos; por tanto, siempre hay un factor primo que no se contiene en ning\u00fan otro n\u00famero de Fermat. Hasta aqu\u00ed la l\u00f3gica es correcta. Pero partimos de un supuesto que no concuerda con la historia.<\/p>\n<p>Fermat conjetur\u00f3 (bueno, Fermat nunca conjeturaba: afirmaba) que todos los n\u00fameros de $F_n$ eran primos(su \u00fanico error). Fue Euler quien, en 1732, prob\u00f3 que no era as\u00ed: $F_5=641\\cdot 6700417$. Vemos que las fechas no concuerdan.<\/p>\n<p>Si Goldbach coment\u00f3 la prueba a Euler con los, entonces llamados, Primos de Fermat, no era necesario llegar a establecer que eran coprimos para probar la infinitud: hay infinitos n\u00fameros de Fermat, por tanto, a finales del XVII hab\u00eda infinitos Primos de Fermat. Cabe que, ya entonces, Goldbach pusiese en duda la conjetura de Fermat y buscase el razonamiento desde otra l\u00ednea. Entonces, esa duda transmitida a Euler le provoc\u00f3 el reto de encontrar un factor para los n\u00fameros de Fermat, y lo hizo, como hemos dicho antes. Y no solo eso: demostr\u00f3 que cada factor de un n\u00famero de Fermat deber\u00eda ser de la forma $$k2^{m+1}+1.$$<\/p>\n<p>Estar\u00eda bien tener el original de la carta de Goldbach y descubrir si, adem\u00e1s de su conjetura, se aventur\u00f3 a contradecir a Fermat.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>En 1730 Goldbach prob\u00f3 la infinitud de los n\u00fameros primos utilizando los n\u00fameros de Fermat<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[6],"tags":[132,136,461],"class_list":["post-3955","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-historia","tag-euler","tag-fermat","tag-goldbach","entry"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3955","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=3955"}],"version-history":[{"count":1,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3955\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3956,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3955\/revisions\/3956"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=3955"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=3955"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=3955"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}