{"id":4331,"date":"2014-09-28T00:11:07","date_gmt":"2014-09-27T22:11:07","guid":{"rendered":"http:\/\/pimedios.es\/?p=4331"},"modified":"2014-09-28T00:19:31","modified_gmt":"2014-09-27T22:19:31","slug":"cauchy-y-la-formula-de-euler","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/?p=4331","title":{"rendered":"Cauchy y la f\u00f3rmula de Euler"},"content":{"rendered":"\n\n\n
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\"Augustin<\/a>
\u00abAugustin Louis Cauchy<\/a>\u00bb. Disponible bajo la licencia Public domain v\u00eda Wikimedia Commons<\/a>.<\/figcaption><\/figure><\/td>\n
Por f\u00f3rmula de Euler conocemos varios resultados, pero al que nos queremos referir al que involucra lo que se denominar\u00e1 por Caracter\u00edstica de Euler o Caracter\u00edstica de Euler-Poincar\u00e9<\/a>, pues fue este \u00faltimo que la extendi\u00f3 a la topolog\u00eda incipiente que se estaba perge\u00f1ando a finales del XIX. Cuando la Caracter\u00edstica de Euler la aplicamos a un poliedro obtenemos la famosa F\u00f3rmula de Euler para los poliedros:<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

En un poliedro convexo con $C$ caras, $A$ aristas y $V$ v\u00e9rtices se cumple que: $$C-A+V=2$$<\/p><\/blockquote>\n

Euler la encontr\u00f3 mientras trataba de clasificar los poliedros, y en 1758 nos dej\u00f3 por escrito:<\/p>\n

Mientras que en geometr\u00eda plana los pol\u00edgonos se podr\u00edan clasificar muy f\u00e1cilmente seg\u00fan el n\u00famero de sus lados que, por supuesto, siempre es igual al n\u00famero de sus \u00e1ngulos, en esterometr\u00eda la clasificaci\u00f3n de los poliedros representa un problema mucho m\u00e1s dif\u00edcil, puesto que el solo n\u00famero de caras es insuficiente para este fin.<\/p><\/blockquote>\n

Lo curiosos es que Euler dio con la f\u00f3rmula, pero no logr\u00f3 dar una demostraci\u00f3n de su validez general. Parece que Descartes, m\u00e1s de un siglo antes, hab\u00eda encontrado un resultado equivalente, sino el mismo, pues en un manuscrito de Leibniz se ve un resultado similar que dice haber copiado de otro manuscrito de Descartes, hoy desaparecido. Es muy posible que la prueba de Descartes sea la que nos ense\u00f1a gaussianos en La f\u00f3rmula de Euler, \u00bfla descubri\u00f3 Descartes?<\/a>.<\/p>\n

Independientemente de esa prueba de Descartes, hasta 1811 nadie conoc\u00eda una prueba general de la F\u00f3rmula de Euler para los poliedros, hasta que un joven aspirante a ingeniero puso su inter\u00e9s en ella. Augustin Louis Cauchy encontr\u00f3 la primera demostraci\u00f3n publicada. Esta la pod\u00e9is ver en Euler’s polyhedron formula<\/a>.<\/p>\n

Referencia:<\/h3>\n