{"id":4445,"date":"2014-12-19T01:51:30","date_gmt":"2014-12-18T23:51:30","guid":{"rendered":"http:\/\/pimedios.es\/?p=4445"},"modified":"2014-12-20T20:14:13","modified_gmt":"2014-12-20T18:14:13","slug":"la-demostracion-mas-sencilla-del-teorema-de-pitagoras","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/?p=4445","title":{"rendered":"La demostraci\u00f3n m\u00e1s sencilla del teorema de Pit\u00e1goras"},"content":{"rendered":"

\"pitagoras_vieta\"<\/a>A muchos matem\u00e1ticos, o aficionados por las matem\u00e1ticas, les dio, y les sigue dando, por buscar demostraciones del teorema Pit\u00e1goras. En la wiki encontramos diversas demostraciones, y gaussianos nos ofrece un buen surtido (
\nLo que se puede hacer con GeoGebra (IX): Demostraci\u00f3n visual del teorema de Pit\u00e1goras<\/a>,La demostraci\u00f3n del presidente<\/a>,Demostraci\u00f3n \u201csim\u00e9trica\u201d del teorema de Pitagoras<\/a>,
\nDemostrando el teorema de Pit\u00e1goras con la f\u00f3rmula de Her\u00f3n<\/a>, Sencilla demostraci\u00f3n del teorema de Pit\u00e1goras<\/a>, entre otras)<\/p>\n

Aqu\u00ed sugeriremos una m\u00e1s: la demostraci\u00f3n que nos proporcion\u00f3 Fran\u00e7ois Vi\u00e8te (o como m\u00e1s lo conocemos con su nombre espa\u00f1olizado, Francisco Vieta)<\/p>\n

Veamos c\u00f3mo lo hace:<\/p>\n

\"pitagoras_vieta\"Fij\u00e1ndonos en la figura observamos que $$\\overline{DC}=\\overline{DA}+\\overline{AC}$$ y $$\\overline{DA}=\\overline{AB},$$ pues tanto $\\overline{DA}$ como $\\overline{AB}$ son radios de la circunferencia. As\u00ed $$\\quad \\quad \\overline{DC}=\\overline{AB}+\\overline{AC}\\quad \\quad (1).$$<\/p>\n

Veamos ahora que $$\\overline{CE}=\\overline{AE}-\\overline{AC},$$ y, como $\\overline{AE}$ es el radio, $$\\overline{AE}=\\overline{AB}.$$ Por tanto, $$\\quad \\quad \\overline{CE}=\\overline{AB}-\\overline{AC}\\quad \\quad (2).$$\"pitagoras_vieta\"<\/p>\n

El producto $$\\overline{DC}\\cdot\\overline{CE}$$ puede obtenerse de (1) y (2), siendo $$\\overline{DC}\\cdot\\overline{CE}=(\\overline{AB}+\\overline{AC})(\\overline{AB}-\\overline{AC})=\\overline{AB}^2-\\overline{AC}^2\\quad (3)$$<\/p>\n

Ahora s\u00f3lo nos resta aplicar el resultado de Euclides III.35 que nos relaciona las longitudes de segmentos de rectas que pasan por un punto y cortan a una circunferencia fija. Como $\\overline{CB}$ es perpendicular a $\\overline{DE}$, Euclides III.35 nos dice que\u00a0 $$\\overline{DC}\\cdot\\overline{CE}=\\overline{CB}^2\\quad (4)$$<\/p>\n

\"pitagoras_vieta\"Ya tenemos lo que busc\u00e1bamos, de (3) y (4) resulta $$\\overline{AB}^2=\\overline{AC}^2+\\overline{CB}^2.$$<\/p>\n

Es muy probable que Vieta dedujese este resultado cuando estudiaba los trabajos de Pappus, en 1589 Federico Commandino tradujo sus obras en un libro titulado Mathematicae Collectiones<\/em>. E Igualmente de probable que este libro inspirase a Vieta como la Arithmetica<\/em> de Diofanto inspirar\u00eda a Fermat unos a\u00f1os despu\u00e9s.\u00a0 En el siglo XX, Hardy utilizar\u00eda la misma idea de Vieta para encontrar otra demostraci\u00f3n similar.<\/p>\n

Seguro que hemos exagerado con el titular, algunos pueden pensar que no es la demostraci\u00f3n m\u00e1s sencilla. Lo dejaremos que es la demostraci\u00f3n m\u00e1s sencilla que hasta ahora he visto<\/em>; aunque, reconozco, que me quedan muchas por ver.
\nEsta entrada participa en la <\/i>Edici\u00f3n 5.9 Emma Castelnuovo<\/a><\/b> del\u00a0Carnaval de Matem\u00e1ticas<\/a><\/b><\/i>,\u00a0cuyo anfitri\u00f3n es el blog <\/i>Que no te aburran las M@TES<\/a>.<\/i><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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