Es curioso c\u00f3mo nuestros alumnos se sorprende al ver operaciones sencillas que se transforman en elementos aparentemente complejos, y resultan igual de sencillos. Un caso es la exponencial de una matriz. En \u00e1lgebra lineal surge como ejemplo que m\u00e1s tarde se aplicar\u00e1 en ecuaciones diferenciales. Pero tratemos de explicarla para aquellos lectores curiosos.<\/p>\n
De nuestro primer a\u00f1o de c\u00e1lculo de cualquier curso universitario, recordamos la exponencial real como suma en serie. En mi \u00e9poca de estudiante la d\u00e1bamos incluso antes, cuando estud\u00edabamos los desarrollos de Taylor en COU. El cl\u00e1sico desarrollo de Maclaurin nos dec\u00eda que<\/p>\n
$$e^{x}=1+x+\\frac{x^2}{2!}+\\frac{x^3}{3!}+\\ldots+\\frac{x^n}{n!}+o(x^n).$$<\/p>\n
Por cierto, la notaci\u00f3n \u00ab$o(x^n)$\u00bb se debe a Edmun Georg H. Landau(1877-1938), un matem\u00e1tico alem\u00e1n amante del ajedrez. Antes de doctorarse en 1899 hab\u00eda publicado dos libros de problemas de ajedrez.<\/em><\/p>\n Tenemos lo necesario para introducir las matrices. Dada una matriz cuadrada $A$ de $n\\times n$ con coeficientes constantes, definimos La convergencia de la serie se prueba f\u00e1cilmente utilizando la norma de una matriz y la desigualdad Puesto que la serie $\\sum a^k\/k!$ converge para todo n\u00famero real $a$, el teorema de Weierstrass (de series), nos confirma que la exponencial de una matriz, como hemos definido, es convergente.<\/p>\n Para probarse hemos de introducir la norma de una matriz, podemos utilizar por ejemplo la m\u00e1s sencilla: Esta definici\u00f3n permite observar propiedades muy similares a la exponencia real:<\/p>\n Por \u00faltimo otro c\u00e1lculo sencillo, su derivada: Maravilloso, \u00bfverdad?.<\/p>\n Esta entrada participa en la \u2018edici\u00f3n 6.9: el conjunto de Cantor<\/a>\u2018<\/strong> del Carnaval de Matem\u00e1ticas<\/a><\/strong><\/em>, cuyo blog anfitri\u00f3n es ::ZTFNews<\/strong><\/a>;<\/em><\/p>\n <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Calculando la exponencia y su derivada de una matriz<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[8],"tags":[],"class_list":["post-4760","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-ocio","entry"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/4760","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=4760"}],"version-history":[{"count":5,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/4760\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":4767,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/4760\/revisions\/4767"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=4760"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=4760"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=4760"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
\n$$e^{At}=I_n+tA+\\frac{t^2}{2!}A^2+\\ldots+\\frac{t^n}{n!}A^n+\\ldots,$$
\nsiendo $I_n$ la identidad de orden $n$. Si $t=1$ tenemos la expresi\u00f3n la exponencial de una matriz que m\u00e1s conocemos
\n$$e^{A}=\\sum_{k=1}^\\infty \\frac{1}{k!}A^k.$$<\/p>\n
\n$$\\left\\| \\frac{A^k}{k!}\\right\\| \\leq \\frac{\\parallel A\\parallel^n }{k!}.$$<\/p>\n
\n$$\\parallel A\\parallel=\\sum_{i=1}^n\\sum_{j=1}^n|a_{ij}|.$$<\/p>\n\n
\n$$\\frac{d}{dt}e^{At}=\\underset{h\\to 0}{lim}\\frac{e^{A(t+h)-e^{At}}}{h}=
\n\\underset{h\\to 0}{lim}\\frac{e^{Ah}-I_n}{h}=$$
\n$$=e^{At}\\underset{h\\to 0}{lim}\\,\\underset{i\\to \\infty}{lim}
\n\\left(A+\\frac{h}{2!}A^2+\\ldots+\\frac{h^{i-1}}{i!}A^i\\right)=Ae^{At}.$$<\/p>\n