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La serie arm\u00f3nica ha cautivado a los matem\u00e1ticos desde siempre.<\/p>\nLa serie arm\u00f3nica ha cautivado a los matem\u00e1ticos desde siempre.<\/p>\n
$${\\displaystyle \\sum _{k=1}^{\\infty }{\\frac {1}{k}}=1+{\\frac {1}{2}}+{\\frac {1}{3}}+{\\frac {1}{4}}+{\\frac {1}{5}}+{\\frac {1}{6}}+\\cdots }$$<\/p>\n
Su nombre se debe a que la longitud de onda de los arm\u00f3nicos de una cuerda que vibra es proporcional a su longitud seg\u00fan la serie de fracciones unitarias.<\/p>\n
Sabemos que la serie es divergente; es decir, su suma es infinita. Nicole Oresme, o Nicol\u00e1s Oresme, (c. 1323 \u2013 11 de julio de 1382) , fue el primero que lo prob\u00f3. Siglos despu\u00e9s Pietro Mengoli (1626-1686), alumno de Bonaventura Cavalieri, abord\u00f3 una nueva demostraci\u00f3n, a la que siguieron las de los hermanos Bernoulli, Johann y Jacob. En el siglo XVII se viv\u00eda la eclosi\u00f3n por las series infinitas.<\/p>\n
En el siguiente siglo, Euler, el alumno aventajado de los Bernoulli, en particular de Johann Bernoulli, quien le daba clases todos los s\u00e1bados por la tarde (Dedicaci\u00f3n del maestro<\/a>), estudi\u00f3 la serie y encontr\u00f3 su propia prueba. Esta es la que hoy traigo aqu\u00ed.<\/p>\n Para demostrar la divergencia de la serie arm\u00f3nica, Euler consider\u00f3 el desarrollo en serie del logaritmo: Una vez dada la igualdad anterior, Euler oper\u00f3 con el logaritmo Un momento antes de sacar las escopetas. Euler razon\u00f3 que el logaritmo de infinito es infinito; es decir, el logaritmo tend\u00eda a infinito. Pero entonces no exist\u00eda la noci\u00f3n de l\u00edmite, y se permit\u00edan estas digresiones del an\u00e1lisis matem\u00e1tico, que hasta la llegada de Augustin Louis Cauchy no se tratar\u00e1 con la rigurosidad que hoy demandamos. Euler trabajaba con la naturalidad que hoy decimos a nuestros alumnos de bachiller que $\\frac{1}{0}=\\infty$, cuando, con rigurosidad, $\\frac{1}{0}$ no existe, no puede plantearse. Si lo analizamos desde las matem\u00e1ticas de hoy, el desarrollo de logaritmo no es v\u00e1lido para $x=1$, por tanto, no puede suponerse $\\ln(0)$. Sin embargo, el razonamiento de Euler es comprensible y casar\u00eda a la perfecci\u00f3n para nuestros alumnos no universitarios.<\/p>\n Esta entrada participa en la\u00a0Edici\u00f3n 8.5<\/a>\u00a0del Carnaval de Matem\u00e1ticas<\/a>\u00a0cuyo anfitri\u00f3n es, en esta ocasi\u00f3n, Santi Garc\u00eda desde\u00a0Ra\u00edz de 2<\/a>.<\/p><\/blockquote>\n <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Explicamos c\u00f3mo Euler demostr\u00f3 la divergencia de la serie arm\u00f3nica.<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[6,9],"tags":[132,326],"class_list":["post-5089","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-historia","category-personajes","tag-euler","tag-serie-armonica","entry"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/5089","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=5089"}],"version-history":[{"count":8,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/5089\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5099,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/5089\/revisions\/5099"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=5089"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=5089"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=5089"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
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\n\\ln(1-x)=-x-\\frac{x^2}{2}-\\frac{x^3}{3}-\\frac{x^4}{4}-\\frac{x^5}{5}-\\ldots
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\nAhora Euler considera $x=1$,
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\n\\ln(0)=-\\left(1+\\frac{1}{2}+\\frac{1}{3}+\\frac{1}{4}+\\frac{1}{5}+\\ldots\\right)
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\n[Anotaci\u00f3n: Quiz\u00e1s parezca extra\u00f1o, pero era consecuente con la suma que se conoc\u00eda:
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\n\\ln(1-(-1))=\\ln(2)=1-\\frac{1}{2}+\\frac{1}{3}-\\frac{1}{4}+\\frac{1}{5}-\\ldots
\n$$
\ndeducida precisamente por Pietro Mengoli y otros.]<\/p>\n
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\n1+\\frac{1}{2}+\\frac{1}{3}+\\frac{1}{4}+\\frac{1}{5}+\\ldots=-\\ln(0)=\\ln(0^{-1})=\\ln\\left(\\frac{1}{0}\\right)=\\ln(\\infty)=\\infty.
\n$$<\/p>\n