La teor\u00eda de n\u00famero tiene un atractivo especial en las matem\u00e1ticas, y los primos es parte del encanto. Uno de los retos en los que primero cae uno es el de encontrarlos, conseguir una f\u00f3rmula que nos de todos los primos, o muchos. \u00bfLa habr\u00e1?<\/p>\n
Sabemos que hay infinitos primos, y que podemos encontrar series con infinitos primos. Por ejemplo, hay infinitos primos de la forma 4n+3, y la demostraci\u00f3n resulta instructiva.<\/p>\n
Supongamos que me equivoco y el n\u00famero de primos que se puede poner como $4n+3$ para ciertos $n$ enteros positivos es finito, y que estos primos son $\\{p_1,p_2,\\ldots,p_k\\}$. Ahora construyamos el n\u00famero $N=(p_1\\cdot p_2\\cdots p_k)^2+2$. Como cada $p_i=4n_i+3$ para cierto $n_i\\in\\mathbb{Z}^+$, resulta que $$p_i^2=(4n_i+3)^2\\equiv 3^2(mod\\, 4)\\equiv 1(mod\\, 4).$$ En consecuencia $$N=(p_1\\cdot p_2\\cdots p_k)^2+2\\equiv (1+2) (mod\\, 4)\\equiv 3 (mod\\, 4).$$<\/p>\n
Es decir, $N$ es un n\u00famero de la forma $N=4n_\\alpha+3$ mayor que todos los $p_i$ y no divisible por ninguno de ellos. Pero $N$ tiene que tener divisores primos, y como no pueden ser los $p_i$ ser\u00e1n otros de la forma $4n+1$. Entonces $$N=q_1\\cdot q_2\\cdots q_r,$$ con\u00a0$q_i=4n_i+1$ para todo \u00edndice. Lo que me lleva a que\u00a0$$N\\equiv 1 (mod\\, 4).$$ una contradicci\u00f3n, pues no puede ser $N\\equiv 3 (mod\\, 4)$ y\u00a0$N\\equiv 1 (mod\\, 4)$ al mismo tiempo. Esta contradicci\u00f3n surge de supone que el n\u00famero de primos de la forma $4n+3$ es finito.<\/p>\n
Como apreciar\u00e9is un planteamiento similar a c\u00f3mo Euclides demostr\u00f3 la infinitud de los n\u00fameros primos.<\/p>\n
Pues bien, podemos demostrar de forma similar que el conjunto de primos para ciertos $n$ de la forma $4n+1$, tambi\u00e9n es infinito. Y los de la forma $6n+1$ \u00f3 $6n+5$ \u00f3 $8n+1$ \u00f3 $8n+3$\u00a0\u00f3 $8n+5$, y as\u00ed\u00a0un no parar. En general lo podemos formular como un teorema, el teorema\u00a0 de Dirichlet sobre progresiones aritm\u00e9ticas:<\/p>\n
Sea $a,\\,d\\in \\mathbb{N}$ tales que el m\u00e1ximo com\u00fan divisor\u00a0$(a,d)=1$, entonces la progresi\u00f3n aritm\u00e9tica $a_{n}=a+n\\cdot d$ contiene infinitos n\u00fameros primos.<\/p><\/blockquote>\n
Este resultado que conjetur\u00f3 Gauss, fue demostrado por Dirichlet en 1837. La demostraci\u00f3n se sale de la teor\u00eda cl\u00e1sica de n\u00fameros, para adentrarse en la teor\u00eda anal\u00edtica de n\u00fameros.\u00a0Dirichlet fue un potenciador de esta rama de la teor\u00eda de n\u00fameros. A \u00e9l tambi\u00e9n debemos, por ejemplo, el Principio del Palomar.<\/p>\n
Una consecuencia que obtenemos de este teorema es la respuesta a la pregunta del principio. \u00bfPodr\u00edamos encontrar un polinomio, $P(x)$, con coeficientes enteros que satisfaga $$P(x) \\mbox{ es primo} \\forall x\\in\\mathbb{Z}^+?$$<\/p>\n
La respuesta es no. Supongamos que s\u00ed, que existiese\u00a0$P(x)$ primo, para todo $x$>0, entonces $P(1)=p$ es primo. Para alg\u00fan $k>0$,\u00a0$P(1+k\\cdot p)$ ser\u00e1 primo\u00a0 y $P(1+k\\cdot p)\\equiv P(1) (mod\\, p) \\equiv 0 (mod\\, p)$. Es decir, $P(1+k\\cdot p)$ es primo y congruente con 0 modulo $p$, luego\u00a0$P(1+k\\cdot p)=p$ para todo entero $k>0$ anterior. Como el Teorema de Dirichlet nos dice que hay infinitos $k$ que lo cumplen,\u00a0seguir\u00eda que la ecuaci\u00f3n $P(x)-p=0$ tiene infinitas soluciones y eso no es posible, un polinomio de grado finito\u00a0tiene finitas soluciones. Otra contradicci\u00f3n.<\/p>\n
Como veis, hay un mundo infinito de contradicciones. Qu\u00e9 pena que no aprendamos de ellas.<\/p>\n
Este post forma parte del\u00a0Carnaval de Matem\u00e1ticas<\/strong>, que en esta septuag\u00e9sima novena edici\u00f3n, tambi\u00e9n denominada 9.3, est\u00e1 organizado por\u00a0@juanfisicahr<\/a><\/strong>\u00a0a trav\u00e9s de su blog\u00a0Esto no entra en el examen<\/a>.<\/p><\/blockquote>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
La teor\u00eda de n\u00famero tiene un atractivo especial en las matem\u00e1ticas, y los primos es parte del encanto. Uno de los retos en los que primero cae uno es el de encontrarlos, conseguir una f\u00f3rmula que nos de todos los primos, o muchos. \u00bfLa habr\u00e1? Sabemos que hay infinitos primos, y que podemos encontrar series… Seguir leyendo Series de primos<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[6,9],"tags":[613,151,725],"class_list":["post-5138","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-historia","category-personajes","tag-dirichlet","tag-gauss","tag-primos","entry"],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/5138","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=5138"}],"version-history":[{"count":9,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/5138\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5147,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/5138\/revisions\/5147"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=5138"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=5138"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=5138"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}