{"id":1591,"date":"2010-11-16T17:42:14","date_gmt":"2010-11-16T15:42:14","guid":{"rendered":"http:\/\/laaventuradelasmatematicas.jesussoto.es\/?p=1591"},"modified":"2010-11-16T17:42:14","modified_gmt":"2010-11-16T15:42:14","slug":"el-numero-e-en-la-obra-de-euler-i","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/?p=1591","title":{"rendered":"El n\u00famero e en la obra de Euler (I)"},"content":{"rendered":"

EL pasado 15 de octubre os hablé de la Primera conferencia sobre Historia de las Matemáticas, y en la cual el profesor Federico Ruiz López nos hablé del número e. Hoy inicia una colaboración con nosotros exponiéndonos en una serie de artículos parte de lo que nos comentó.<\/p>\n

 <\/p>\n

Las siguientes líneas son una transcripción bastante fiel de lo que nos cuenta Leonhard Euler sobre exponenciales y logaritmos. El capítulo VII de su obra "Introducción al Análisis de los Infinitos"<\/em>, constituye la presentación en sociedad de una de las constantes más importantes de la matemática, y una constante fundamental en cálculo: el número e<\/em><\/strong>.<\/p>\n

Trataremos de mostrar de la manera más sencilla posible y con la notación empleada en la época, cómo se crearon de la nada dos de las funciones más importantes de la Matemática: la función exponencial y la función logarítmica<\/em><\/strong>.<\/p>\n

El proceso ideado por Napier para el cálculo de logaritmos (decimales) era largo y tedioso. Euler nos proporciona un método mucho más potente para determinar los logaritmos en cualquier base y con un elevado número de cifras decimales. Toda una genialidad.<\/p>\n

Escojamos un número cualquier a (constante mayor que 1) como base de nuestro sistema de logaritmos. De todos es conocido que<\/p>\n

$ a^{0}=1 $<\/p>\n

Si $\\omega$ representa un número infinitamente pequeño, es claro que<\/p>\n

$ a^{\\omega} = 1 + \\psi $<\/p>\n

Aquí Euler razona que el valor de $ \\psi $ puede ser mayor o menor que 1. En cualquier caso este valor depende de a, en buena medida. Entonces se le ocurre la siguiente genialidad. Pongamos<\/p>\n

$ a^{\\omega} = 1 + k \\omega $<\/p>\n

Si piensan un poco verán aquí que en el fondo Euler considera la exponencial como una función que se comporta a pequeña escala de un modo lineal. En sí, estamos hablando de los fundamentos del cálculo infinitesimal, donde las curvas, son en definitiva suma de pequeños segmentos rectilíneos (localmente euclídeos).<\/p>\n

Debe existir una estrecha relación entre a y k, de suerte que $k=k(a)$ y viceversa. Lo que hace Euler es estudiar con profundidad qué tipo de relación es ésta.<\/p>\n

Si consideramos i un número infinitamente grande, es claro que<\/p>\n

$iw=z \\rightarrow w=\\frac{z}{i} $<\/p>\n

porque un número infinitamente grande por un número infinitamente pequeño nos puede generar cualquier número (complejo). Este hecho hoy día lo representamos con la indeterminación $ 0 \\cdot \\infty $. Pero entonces<\/p>\n

$ a^{z} = a^{iw} = (1+k\\omega)^{i} = \\left( 1 + \\frac{kz}{i} \\right)^{i} $<\/p>\n

(Autor Federico Ruiz López.)<\/em><\/p>\n

Enlaces de interés:<\/h3>\n