{"id":1597,"date":"2010-11-17T21:59:57","date_gmt":"2010-11-17T19:59:57","guid":{"rendered":"http:\/\/laaventuradelasmatematicas.jesussoto.es\/?p=1597"},"modified":"2010-11-17T21:59:57","modified_gmt":"2010-11-17T19:59:57","slug":"el-numero-e-en-la-obra-de-euler-ii","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/?p=1597","title":{"rendered":"El n\u00famero e en la obra de Euler (II)"},"content":{"rendered":"

El pasado día obtuvimos<\/p>\n

$ a^{z} = a^{iw} = (1+k\\omega)^{i} = \\left( 1 + \\frac{kz}{i} \\right)^{i}, $<\/p>\n

Ahora, desarrollando por la fórmula del binomio de Newton tendremos<\/p>\n

$ a^{z} = \\left( 1 + \\frac{kz}{i} \\right)^{i} = 1 + \\binom{i}{1}\\frac{kz}{i} + \\binom{i}{2}\\frac{(kz)^{2}}{i^{2}} + \\binom{i}{3}\\frac{(kz)^{3}}{i^{3}} + \\cdots =$<\/p>\n

$ = 1 + \\frac{i}{1} \\frac{kz}{i} + \\frac{i(i-1)}{1 \\cdot 2} \\frac{(kz)^{2}}{i^{2}} + \\frac{i(i-1)(i-2)}{1 \\cdot 2 \\cdot3} \\frac{(kz)^{3}}{i^{3}} + \\cdots = $<\/p>\n

$ = 1 + \\frac{kz}{1} + \\frac{i-1}{i} \\frac{(kz)^{2}}{1 \\cdot 2} + \\frac{(i-1)}{i} \\frac{(i-2)}{i} \\frac{(kz)^{3}}{1 \\cdot 2 \\cdot 3} + \\cdots $<\/p>\n

Como i es un número infinitamente grande, los cocientes señalados son prácticamente 1, de suerte que se tiene la identidad<\/p>\n

$ a^{z} = 1 + \\frac{kz}{1} + \\frac{(kz)^{2}}{1 \\cdot 2} + \\frac{(kz)^{3}}{1 \\cdot 2 \\cdot 3} + \\cdots $<\/p>\n

En particular haciendo z=1, se tiene la curiosa relación<\/p>\n

$ a = 1 + \\frac{k}{1} + \\frac{k^{2}}{1 \\cdot 2} + \\frac{k^{3}}{1 \\cdot 2 \\cdot 3} + \\frac{k^{4}}{1 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdot 4} \\cdots $<\/p>\n

Esta ecuación muestra al mismo tiempo la relación entre a<\/em> y k.<\/em> De manera que para cada valor de k<\/em>, obtendremos una base distinta de nuestro sistema de logaritmos. Esta relación la usaremos más adelante.<\/p>\n

 (Autor Federico Ruiz López.)<\/em><\/p>\n

Enlaces de interés:<\/h3>\n