{"id":1602,"date":"2010-11-18T14:01:00","date_gmt":"2010-11-18T12:01:00","guid":{"rendered":"http:\/\/laaventuradelasmatematicas.jesussoto.es\/?p=1602"},"modified":"2010-11-18T14:01:00","modified_gmt":"2010-11-18T12:01:00","slug":"el-numero-e-en-la-obra-de-euler-iii","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/?p=1602","title":{"rendered":"El n\u00famero e en la obra de Euler (III)"},"content":{"rendered":"

Volviendo a nuestra ecuación original hemos supuesto que<\/p>\n

$ a^{\\omega} = 1+k\\omega $<\/p>\n

Denotando por l el logaritmo en base a, $l=log_{a} $ se tendrá que<\/p>\n

$ \\omega = l(1+k\\omega) \\rightarrow i\\omega = l(1+k\\omega)^{i} = l(1+x)$<\/p>\n

donde hemos denotado por $ 1+x = (1+k\\omega)^{i} $ que debe ser una cantidad de suerte que<\/p>\n

$ l(1+x) = i\\omega $<\/p>\n

expresión que representa un valor finito.<\/p>\n

Ahora bien despejando en la ecuación dada más arriba, se tiene que<\/p>\n

$ 1+x = (1+k\\omega)^{i} \\rightarrow (1+x)^{\\frac{1}{i}} -1 = k\\omega \\rightarrow \\omega = \\frac{1}{k} \\left( (1+x)^{\\frac{1}{i}} -1 \\right) $<\/p>\n

Multiplicando ambos miembros por i y recordando que $i\\omega = l(1+x) $, se tiene<\/p>\n

$ log_{a}(1+x) = l(1+x) = i\\omega = \\frac{i}{k} \\left( (1+x)^{\\frac{1}{i}} -1 \\right) $<\/p>\n

Por otra parte<\/p>\n

$ (1+x)^{\\frac{1}{i}} = 1 + \\frac{1}{i}x – \\frac{i-1}{i \\cdot 2i} x^{2} + \\frac{(i-1)(2i-1)} {i\\cdot 2i \\cdot 3i} x^{3} – \\frac{(i-1)(2i-1)(3i-1)}{i\\cdot 2i \\cdot 3i \\cdot 4i } x^{4} \\cdots $<\/p>\n

Ahora bien, por ser i un número infinitamente grande<\/p>\n

$ \\frac{i-1}{i} = \\frac{2i-1}{2i} = \\frac{3i-1}{3i} = \\cdots = 1 $<\/p>\n

por lo que al multiplicar por i y restar 1 habrá de ser<\/p>\n

$ log_{a}(1+x) = \\frac{1}{k} \\left( \\frac{x}{1} – \\frac{x\\cdot x}{2} + \\frac{x^{3}}{3} – \\frac{x^{4}}{4} + \\cdots \\right) $<\/p>\n

(Autor Federico Ruiz López.)<\/em><\/p>\n

Enlaces de interés:<\/h3>\n