{"id":1619,"date":"2010-11-22T19:51:57","date_gmt":"2010-11-22T17:51:57","guid":{"rendered":"http:\/\/laaventuradelasmatematicas.jesussoto.es\/?p=1619"},"modified":"2010-11-22T19:51:57","modified_gmt":"2010-11-22T17:51:57","slug":"el-numero-e-en-la-obra-de-euler-iv","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/?p=1619","title":{"rendered":"El n\u00famero e en la obra de Euler (IV)"},"content":{"rendered":"

Continuemos mostrando como Euler razona seguidamente. Si ponemos en esta expresión x= a-1<\/em> obtendremos una expresión que nos permite determinar k<\/em> en función de a (que es la otra relación que nos faltaba)<\/p>\n

En efecto se tendría que<\/p>\n

$ 1 = log_{a}(a) = log_{a} (1+x) = \\frac{1}{k} \\left( \\frac{a-1}{1} + \\frac{(a-1)^{2}}{2} + \\frac{(a-1)^{3}}{3} + \\frac{(a-1)^{4}}{4} + \\cdots \\right) $<\/p>\n

Y despejando k<\/em><\/p>\n

$ k = \\frac{a-1}{1} + \\frac{(a-1)^{2}}{2} + \\frac{(a-1)^{3}}{3} + \\frac{(a-1)^{4}}{4} + \\cdots $<\/p>\n

Por ejemplo si tomamos como base de los logaritmos a=10, obtendríamos una suma de la forma<\/p>\n

$ k = \\frac{9}{1} – \\frac{9^{2}}{2} + \\frac{9^{3}}{3} – \\frac{9^{4}}{4} + \\cdots $<\/p>\n

serie cuyo valor debe ser aproximadamente 2,30258, lo cual puede resultar difícil de entender ya que los términos de esta serie se hacen mayores continuamente y además tampoco puede obtenerse de unos cuantos sumandos una suma aproximada. Este era uno de los problemas con los que se encontraba Euler a menudo, aunque los salvaba posteriormente de manera honrosa.<\/p>\n

Nos quedamos con la expresión<\/p>\n

$ log_{a}(1+x) = \\frac{1}{k} \\left( \\frac{x}{1} – \\frac{x^{2}}{2} + \\frac{x^{3}}{3} – \\frac{x^{4}}{4} + \\cdots\\right) $<\/p>\n

Una vez llegados a este punto Euler reza así: Ya que para fundar un sistema de logaritmos es lícito escoger a gusto de cada cual la base a, se podrá asumir de manera natural la base que haga k=1. Mediante la serie hallada más arriba, será:<\/em><\/strong><\/p>\n

$ a = 1 + \\frac{1}{1} + \\frac{1}{1 \\cdot 2} + \\frac{1}{1 \\cdot 2 \\cdot 3} + \\frac{1}{1 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdot 4} \\cdots $<\/p>\n

términos que convertidos en fracciones decimales y sumados acto seguido ofrecerán como valor<\/em><\/strong><\/p>\n

$ a= 2,718281828459045235360028 $<\/p>\n

Y si ahora se construyen logaritmos sobre tal base, como mediante logaritmos de este tipo se puede cuadrar la hipérbola se les suele llamar logaritmos naturales o hiperbólicos. Llamemos por brevedad la letra constante e que denotará entonces la base de los logaritmos naturales o hiperbólicos a la que corresponde el valor de la letra k=1.<\/em><\/strong><\/p>\n

(Autor Federico Ruiz López.)<\/em><\/p>\n

Enlaces de interés:<\/h3>\n