{"id":1651,"date":"2010-11-26T00:56:32","date_gmt":"2010-11-25T22:56:32","guid":{"rendered":"http:\/\/laaventuradelasmatematicas.jesussoto.es\/?p=1651"},"modified":"2010-11-26T00:56:32","modified_gmt":"2010-11-25T22:56:32","slug":"el-numero-e-en-la-obra-de-euler-v","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/?p=1651","title":{"rendered":"El n\u00famero e en la obra de Euler (V)"},"content":{"rendered":"

De los pasados d\u00edas disponemos de las siguientes expresiones para la funci\u00f3n exponencial,<\/p>\n

$ e^{z} = 1 + \\frac{z}{1} + \\frac{z^{2}}{1 \\cdot 2} + \\frac{z^{3}}{1 \\cdot 2 \\cdot 3} + \\frac{z^{4}}{1 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdot 4} \\cdots $<\/p>\n

y se podr\u00e1 dar con los logaritmos hiperb\u00f3licos a partir de la serie infinita<\/p>\n

$ l(1+x) = log_{e}(1+x) = \\frac{x}{1} – \\frac{x^{2}}{2} + \\frac{x^{3}}{3} – \\frac{x^{4}}{4} + \\cdots $<\/p>\n

Por otra parte si $ a^{y}=e^{z} $, tomando logarimtos naturales se tendr\u00e1 que $ z= y \\cdot l(a) $<\/p>\n

$ a^{y} = e^{z} = e^{yl(a)} = 1 + \\frac{yl(a)}{1} + \\frac{(yl(a))^{2}}{1 \\cdot 2} + \\frac{(yl(a))^{3}}{1 \\cdot 2 \\cdot 3} + \\frac{(yl(a))^{4}}{1 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdot 4} \\cdots $<\/p>\n

de donde se deduce que.<\/p>\n

$ k=ln(a) \\leftrightarrow a=e^{k}$<\/p>\n

Esta es la relaci\u00f3n buscada desde el principio entre a y k. De este modo el logaritmo en cualquier base, se reduce a uno logaritmo en base e<\/em>, ya que<\/p>\n

$ log_{a}(1+x) = \\frac{1}{k} \\left( \\frac{x}{1} – \\frac{x^{2}}{2} + \\frac{x^{3}}{3} – \\frac{x^{4}}{4} + \\cdots \\right) = \\frac{1}{ln(a)} ln(1+x) $<\/p>\n

o equivalentemente<\/p>\n

$ log_{a}(z) = \\frac{ln(z)}{ln(a)} $<\/p>\n

que es la conocida f\u00f3rmula del cambio de base<\/strong>.<\/p>\n

Volvamos ahora al principio. Todo hab\u00eda comenzado con la expresi\u00f3n<\/p>\n

$ a^{\\omega} = 1 + k\\omega $<\/p>\n

Ahora sabemos que cuando k<\/em>=1, a= e = 2,71828… luego<\/p>\n

$ e^{\\omega} = 1 + \\omega $<\/p>\n

Como \u03c9 representa un n\u00famero infinitamente peque\u00f1o, tom\u00e9moslo de la forma $ \\omega = \\frac{1}{i} $ con i infinitamente grande, de suerte que se tenga<\/p>\n

$ e^{\\frac{1}{i}} = 1 + \\frac{1}{i} \\rightarrow e= \\left( 1 + \\frac{1}{i} \\right)^{i} $<\/p>\n

que es la manera que ten\u00eda Euler de expresar lo que hoy conocemos como<\/p>\n

$ e = \\displaystyle\\lim_{n \\to \\infty} \\left( 1 + \\frac{1}{n} \\right)^{n} = 2,718281828459045235360… $<\/p>\n

Pero podemos llegar un poco m\u00e1s lejos. Concretamente la relaci\u00f3n $ a^{\\omega} = 1 + k\\omega $ nos prueba de alg\u00fan modo que<\/p>\n

$ \\lim_{x \\to 0} \\frac{a^{x}-1}{x} = k = ln(a) $<\/p>\n

y que<\/p>\n

$\\displaystyle \\lim_{x \\to 0} \\frac{log_{a}(1+x)}{x} = \\frac{1}{k} = \\frac{1}{ln(a)} $<\/p>\n

Como corolario, cuando k=1<\/em> tenemos las bellas relaciones<\/p>\n

$ \\displaystyle \\lim_{x \\to 0 } \\frac{e^{x}-1}{x} = k = 1 $<\/p>\n

y que<\/p>\n

$\\displaystyle \\lim_{x \\to 0 } \\frac{ln(1+x)}{x} = 1 $<\/p>\n

Pocas ideas han dado tanto juego.<\/p>\n

(Autor Federico Ruiz L\u00f3pez.)<\/em><\/p>\n

Enlaces de inter\u00e9s:<\/h3>\n