{"id":2094,"date":"2011-02-25T20:29:20","date_gmt":"2011-02-25T18:29:20","guid":{"rendered":"http:\/\/laaventuradelasmatematicas.jesussoto.es\/?p=2094"},"modified":"2011-02-25T20:29:20","modified_gmt":"2011-02-25T18:29:20","slug":"primeros-desarrollos-en-serie-vii","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/?p=2094","title":{"rendered":"Primeros desarrollos en serie (VII)"},"content":{"rendered":"

Teniendo en cuenta que Mercator estableci\u00f3 la serie logar\u00edtmica s\u00f3lo con palabras, como hemos se\u00f1alado con anterioridad, podemos hacernos una idea de las dificultades que encontrar\u00edamos para seguir su razonamiento a partir del texto original. Sin embargo, Wallis en su revisi\u00f3n de Logarithmotechnia<\/em> publicada en The Philosophical Transactions<\/em> en 1668 presenta una exposici\u00f3n m\u00e1s detallada del proceso seguido por Mercator con una notable mejora en la notaci\u00f3n. Adem\u00e1s Wallis s\u00ed que menciona, cosa que no hizo Mercator, la necesidad de que $x<1$ para la convergencia de la serie. Wallis a\u00f1ade adem\u00e1s el desarrollo de otra serie infinita, desarrollo que con la notaci\u00f3n actual podr\u00edamos escribir $$\\int_0^x\\frac{dt}{1-t}=x+\\frac{x^2}{2}+\\frac{x^3}{3}+\\frac{x^4}{4}+\\cdots$$<\/p>\n

En t\u00e9rminos actuales el razonamiento de Mercator ser\u00eda como sigue:<\/p>\n

Dividamos el intervalo $[0,x]$ en $n$ subintervalos de igual amplitud $h=x\/n$ y construyamos los rect\u00e1ngulos circunscritos con base en los subintervalos.<\/p>\n

Las alturas de los rect\u00e1ngulos son $$1,\\frac{1}{1+h},\\frac{1}{1+2h},\\cdots,\\frac{1}{1+(n-1)h}.$$ Desarrollando cada una de las alturas como series geom\u00e9tricas tenemos que el \u00e1rea buscada es<\/p>\n

$A\\approx h+\\sum_{j=1}^{n-1}\\frac{h}{1+jh}$<\/p>\n

$=h+h\\left(\\sum_{k=0}^{\\infty}(-1)^kh^k\\right)+h\\left(\\sum_{k=0}^{\\infty}(-1)^k(2h)^k\\right)+$<\/p>\n

$+\\cdots+h\\left(\\sum_{k=0}^{\\infty}(-1)^k((n-1)h)^k\\right)$<\/p>\n

Agrupando los t\u00e9rminos con las mismas potencias de $h$ y sustituyendo $h$ por $\\frac{x}{n}$ obtendremos:
\n$$A\\approx nh-h\\left[h+2h+\\cdots+(n-1)h\\right]$$ $$+h\\left[h^2+(2h)^2+\\cdots+(n-1)^2h^2\\right]$$ $$+\\cdots+$$ $$+(-1)^kh\\left[h^k+(2h)^k+\\cdots+(n-1)^kh^k\\right]+\\cdots =$$ $$=x-h^2\\left[1+2+\\cdots+(n-1)\\right]$$ $$+h^3\\left[1^2+2^2+\\cdots(n-1)^2\\right]$$ $$+\\cdots+$$ $$+(-1)^kh^{k+1}\\left[1^k+2^k+\\cdots(n-1)^k\\right]+\\cdots=$$ $$=x-\\frac{x^2}{n^2}\\left(\\sum_{i=1}^{n-1}i\\right)+\\frac{x^3}{n^3}\\left(\\sum_{i=1}^{n-1}i^2\\right)+\\cdots$$ $$+(-1)^k\\frac{x^{k+1}}{n^{k+1}}\\left(\\sum_{i=1}^{n-1}i^k\\right)+\\cdots$$
\nEn su Aritm\u00e9tica Infinitorum<\/em> de 1656 Wallis hab\u00eda probado que
\n$$\\lim\\limits_{n\\rightarrow \\infty}\\frac{\\sum i^k}{n^{k+1}}=\\frac{1}{k+1}$$<\/p>\n

Tomando l\u00edmites t\u00e9rmino a t\u00e9rmino obtenemos la serie $$A=x-\\frac{x^2}{2}+\\frac{x^3}{3}-\\frac{x^4}{4}+\\cdots$$<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Teniendo en cuenta que Mercator estableci\u00f3 la serie logar\u00edtmica s\u00f3lo con palabras, como hemos se\u00f1alado con anterioridad, podemos hacernos una idea de las dificultades que encontrar\u00edamos para seguir su razonamiento a partir del texto original. Sin embargo, Wallis en su revisi\u00f3n de Logarithmotechnia publicada en The Philosophical Transactions en 1668 presenta una exposici\u00f3n m\u00e1s detallada… Seguir leyendo Primeros desarrollos en serie (VII)<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[6],"tags":[34,216,248,351,360],"class_list":["post-2094","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-historia","tag-aritmetica-infinitorum","tag-logarithmotechnia","tag-mercator","tag-the-philosophical-transactions","tag-wallis","entry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/2094","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/3"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=2094"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/2094\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=2094"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=2094"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=2094"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}