![\"\"](\"http:\/\/pimedios.es\/wp-content\/uploads\/2012\/02\/prodcwallis.png\" "\\"prodcwallis\\"")
<\/a><\/p>\nVeamos como lo hizo. En la ultima parte de su obra Arithmetica Infinitorum<\/em> trata de calcular el \u00e1rea de un cuadrante del c\u00edrculo de radio la unidad,\u00a0y para ello utiliza la aritm\u00e9tica de los indivisibles de Cavalieri. Designa como un cuadrado peque\u00f1o (por sencillez lo escribir\u00e9 as\u00ed $\\sqcap$) el rec\u00edproco del \u00e1rea deseada, y establece que la suma infinita\u00a0de los indivisibles de la funci\u00f3n del c\u00edrculo ser\u00e1 el inverso de $\\sqcap$. Recordemos que la notaci\u00f3n $\\pi$ todav\u00eda no se utilizaba, por ese motivo\u00a0Wallis s\u00f3lo hace menci\u00f3n del \u00e1rea, que impl\u00edcitamente lleva a $\\pi$. Utilizando el signo $\\sqcap$ de Wallis hoy escribir\u00edamos Por tanto, comenz\u00f3 a computar los valores de la funci\u00f3n No tard\u00f3 en observar que<\/p>\n $$f(p,q)=\\frac{1}{p!}(q+1)(q+2)\\cdots(p+q),$$<\/p>\n y la recursiva Cuando tuvo los elementos los dispuso en una tabla y plante\u00f3 expandirla a los valores intermedios, donde aparecer\u00eda $f(\\frac{1}{2},\\frac{1}{2})=\\sqcap$.<\/p>\n Para calcularlos m\u00e1s c\u00f3modamente, consider\u00f3 $m=2p$ y $n=2q$, de modo que Wallis sigue trabajando con los valores de $a_{m,n}$ como si se tratase del tri\u00e1ngulo de Pascal, pero el que le interesa es $\\sqcap=a_{1,1}$. As\u00ed que\u00a0estudia los n\u00fameros cuando $m=1$ El siguiente paso es comprobar que Con esta entrada contribuimos a la Edici\u00f3n 3.1<\/a> del Carnaval de Matem\u00e1ticas<\/a>, que en esta ocasi\u00f3n tiene como anfitri\u00f3n a Scientia potentia est<\/a>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Explicamos c\u00f3mo Jonh Wallis consigui\u00f3 encontrar su famoso producto.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[6,9],"tags":[360],"class_list":["post-3144","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-historia","category-personajes","tag-wallis","entry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3144","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=3144"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3144\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=3144"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=3144"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=3144"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
\n$$\\frac{1}{\\sqcap }=\\lim_{n\\to \\infty}\\sum_{k=0}^n\\sqrt{1-\\frac{k^2}{n^2}},$$
\no bien,
\n$$\\frac{1}{\\sqcap }=\\int_{0}^1(1-x^2)^{\\frac{1}{2}}dx,$$
\nutilizando la nomenglatura que introducir\u00e1 Leibniz 20 a\u00f1os despu\u00e9s. Wallis conoc\u00eda el resultado de las \u00e1reas bajo las curvas $y=x^{\\frac{p}{q}}$,\u00a0y que este era igual a
\n$$\\int_{0}^1x^{\\frac{p}{q}}dx=\\frac{1}{\\frac{p}{q}+1}=\\frac{p}{p+q}.$$
\nSu idea fue generalizar el \u00e1rea para las funciones $y=(1-x^\\frac{1}{p})^q$, de modo que si $p=q=\\frac{1}{2}$, consegu\u00eda
\n$$\\frac{\\pi}{4}=\\int_{0}^1\\sqrt{1-x^2}\\,dx.$$<\/p>\n
\n$$f(p,q)=\\frac{1}{\\int_{0}^1(1-x^\\frac{1}{p})^q\\,dx}$$
\npara valores de $p,q\\leq 10$.<\/p>\n
\n$$f(p,q)=\\frac{p+q}{q}f(p,q-1).$$<\/p>\n
\n\\begin{equation}
\na_{m,n}=f(\\frac{m}{2},\\frac{n}{2})=\\frac{\\frac{m}{2}+\\frac{n}{2}}{\\frac{n}{2}}f(\\frac{m}{2},\\frac{n}{2}-1)=\\frac{m+n}{n}a_{m,n-2}.\\{q05\\}
\n\\end{equation}<\/p>\n
\n$$a_{1,n}=\\frac{n+1}{n}a_{1,n-2},$$
\nobteniendo de forma recursiva
\n\\begin{equation}
\na_{1,n}=1\\times \\frac{3}{2}\\times \\frac{5}{4}\\times \\cdots\\times\\frac{n+1}{n},\\{q06\\}
\n\\end{equation}
\nsi $n$ es par, y
\n\\begin{equation}
\na_{1,n}=\\frac{\\sqcap}{2}\\times \\frac{2}{1}\\times \\frac{4}{3}\\times \\cdots\\times\\frac{n+1}{n},\\{q07\\}
\n\\end{equation}
\nen caso de que $n$ sea impar.<\/p>\n
\n$$a_{1,1}\\leq a_{1,2}\\leq a_{1,3}\\leq\\ldots\\leq a_{1,n}\\leq a_{1,n+1}\\leq\\ldots, $$
\npara sustituir $\\{q06\\}$ y $\\{q07\\}$ en
\n$$a_{1,2n-1}\\leq a_{1,2n}\\leq a_{1,2n+1},$$
\nresultando
\n$$\\frac{\\sqcap}{2}\\prod_{k=1}^n\\frac{2k}{2k-1}<\\prod_{k=1}^n\\frac{2k+1}{2k}<\\frac{\\sqcap}{2}\\prod_{k=1}^{n+1}\\frac{2k}{2k-1}, $$\nde donde conseguimos\n$$\\prod_{k=1}^n\\frac{(2k)^2}{(2k-1)(2k+1)}<\\frac{2}{\\sqcap}<\\left[\\prod_{k=1}^{n}\\frac{(2k)^2}{(2k-1)(2k+1)}\\right]\\frac{2n+2}{2n+1}.$$\n\nComo $\\frac{2n+2}{2n+1}$ tiende a 1 cuando $n$ tiende a infinito, Wallis concluye que el producto\n$$\\prod_{k=1}^n\\frac{(2k)^2}{(2k-1)(2k+1)}$$\ncoincide con $\\frac{2}{\\sqcap}$ en el infinito. Si recordamos que $\\frac{2}{\\sqcap}=\\frac{\\pi}{2}$, nos damos cuenta que ha obtenido\n$$\\frac{\\pi}{2}=\\lim_{n\\to\\infty}\\prod_{k=1}^n\\frac{(2k)^2}{(2k-1)(2k+1)}=\\frac{2}{1}\\cdot \\frac{2}{3}\\cdot \\frac{4}{3}\\cdot \\frac{4}{5} \\cdots$$\n\n\n\n