{"id":3595,"date":"2012-12-19T23:23:38","date_gmt":"2012-12-19T23:23:38","guid":{"rendered":"http:\/\/pimedios.es\/?p=3595"},"modified":"2012-12-19T23:26:23","modified_gmt":"2012-12-19T23:26:23","slug":"el-algoritmo-de-arquimedes-para-calcular-pi","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/?p=3595","title":{"rendered":"El algoritmo de Arqu\u00edmedes para calcular Pi"},"content":{"rendered":"

\"\"<\/a>Entre los m\u00faltiples\u00a0intentos de aproximar $\\pi$ Arqu\u00edmedes posee el m\u00e9todo que m\u00e1s tiempo ha perdurado. \u00c9l concibi\u00f3 la longitud de los pol\u00edgonos regulares inscritos y circunscritos al c\u00edrculo unidad como medio para calcular $\\pi$, pues el per\u00edmetro del pol\u00edgono se acercaba a la longitud de la c\u00edrculo, $2\\pi$. As\u00ed determin\u00f3, por exceso y por defecto cantidades entre las que estaba $\\pi$. Inici\u00f3 el procedimiento de una secuencia que converg\u00eda en $\\pi$.<\/p>\n

Utilizando $p_n$ y $P_n$ como la mitad del per\u00edmetro de los pol\u00edgonos regulares de $n$ lados inscritos y\u00a0circunscritos, respectivamente, Arqu\u00edmedes consigui\u00f3 una relaci\u00f3n de recurrencia con la que calcular $\\pi$:<\/p>\n

$$\\frac{1}{P_{2n}}=\\frac{1}{2}\\left(\\frac{1}{P_{n}}+\\frac{1}{p_{n}}\\right)$$<\/p>\n

$$p_{2n}=\\sqrt{P_{2n}p_n}$$<\/p>\n

Comenzando con $n=3$,\u00a0$p_3=\\frac{3\\sqrt{3}}{2}$ y $P_3=3\\sqrt{3}$, lleg\u00f3 a establecer la desigualdad<\/p>\n

$$\\frac{223}{71}<p_{96}<\\pi<P_{96}<\\frac{22}{7}$$<\/p>\n

Utilicemos la idea de Arqu\u00edmedes y supongamos que el pol\u00edgono, que inscribimos en el c\u00edrculo de radio unidad, es un pol\u00edgono regular de $2^k$ lados. Por ejemplo, si es un cuadrado el lado vale<\/p>\n

$$l_2=2\\sin(\\pi\/4)=\\sqrt{2},$$<\/p>\n

y el per\u00edmetro resulta $P_2=2^2l_2=4\\sqrt{2}$. Ya tenemos una aproximaci\u00f3n a la longitud de la circunferencia.<\/p>\n

Si generalizamos, $p_k=\\frac{P_k}{2}$ ser\u00e1 una aproximaci\u00f3n a $\\pi$. Veamos como es:<\/p>\n

$$p_k=\\frac{P_k}{2}=\\frac{1}{2}2^kl_k=\\frac{1}{2}2^k2\\sin(\\theta_k)=2^k\\sin(\\theta_k),$$<\/p>\n

siendo $\\theta_k=\\frac{\\pi}{2^k}$. Si doblamos el n\u00famero de lados; es decir, $k$ pasa a $k+1$, es<\/p>\n

$$p_{k+1}=2^{k+1}\\sin(\\theta_k\/2).$$<\/p>\n

Ahora utilizamos la relaci\u00f3n<\/p>\n

$$\\sin^2(\\theta_k\/2)=\\frac{1}{2}(1-\\cos(\\theta_k))=\\frac{1}{2}(1-\\sqrt{1-\\sin^2(\\theta_k)}),$$<\/p>\n

para sustituir en la anterior y obtener<\/p>\n

$$p_{k+1}=2^{k+1}\\sqrt{\\frac{1}{2}(1-\\sqrt{1-\\sin^2(\\theta_k)})}.$$<\/p>\n

Solo necesitamos ver que \u00a0$p_k=2^k\\sin(\\theta_k)$ implica que $\\sin(\\theta_k)=\\frac{p_k}{2^k}$ y sustituir para obtener<\/div>\n
\n

$$p_{k+1}=2^{k}\\sqrt{2}\\sqrt{1-\\sqrt{1-\\left(\\frac{p_k}{2^k}\\right)^2}}.$$<\/p>\n

Ahora tenemos otro procedimiento iterativo con el que obtener una aproximaci\u00f3n de $\\pi$. Este algoritmo lo pod\u00e9is ver en el libro \u00a0M\u00e9todos num\u00e9ricos: problemas resueltos y pr\u00e1cticas<\/a>, de\u00a0I. A. Garc\u00eda.<\/div>\n<\/div>\n
<\/div>\n
\n

Con esta entrada participamos en la Edici\u00f3n 3,141592653<\/a> del Carnaval de Matem\u00e1ticas<\/a>, que organiza Que no te aburran las M@tes<\/a>.<\/em><\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

El algoritmo de Arqu\u00edmedes para calcular Pi<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[6,8],"tags":[],"class_list":["post-3595","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-historia","category-ocio","entry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3595","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=3595"}],"version-history":[{"count":7,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3595\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3603,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3595\/revisions\/3603"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=3595"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=3595"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=3595"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}