Una ecuaci\u00f3n diferencial de la forma $$y’+a(x)y=b(x)y^n$$ se denomina ecuaci\u00f3n de Bernoulli. Hace referencia al mayor de los Bernoulli, Jakob(1654-1705), de cuya familia tenemos amplios conocimientos en las matem\u00e1ticas. Jakob la mostr\u00f3 en 1695 en \u00abExplicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. anni de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis\u00bb, Acta Eruditorum.<\/p>\n
Un curiosidad de esta ecuaci\u00f3n es que si $n>1$ podemos considerar $z=y^{1-n}$, resulta $z’=-\\frac{n-1}{y^n}y’$, y la ecuaci\u00f3n anterior se puede expresar como $$z’+(1-n)a(x)z=(1-n)b(x),$$ una ecuaci\u00f3n diferencial lineal.<\/p>\n
Esta sustituci\u00f3n se le ocurri\u00f3 a Leibniz, mentor de los hermanos Jakob y Johann(quien tambi\u00e9n la hab\u00eda resuelto, pero por otro m\u00e9todo), en 1696. El inconveniente es que eliminamos las soluci\u00f3n singular $y=0$, pero teni\u00e9ndolo en cuenta podemos utilizar este m\u00e9todo.<\/p>\n
Por ejemplo en el siguiente problema: El modelo de crecimiento de von Bertalanffy, plantea un modelo matem\u00e1tico de la poblaci\u00f3n de peces, en concreto la predicci\u00f3n del crecimiento de un tipo de pez: $$\\frac{dW}{dt}=\\alpha W^{\\frac{2}{3}}-\\beta W,$$ donde $W=W(t)$ representa el peso del un pez, y $\\alpha$ y $\\beta$ son constantes positivas. <\/p>\n
Como el problema presenta una ecuaci\u00f3n de Bernoulli, podemos resolver f\u00e1cilmente preguntas del tipo: la soluci\u00f3n general de la ecuaci\u00f3n, el peso l\u00edmite del pez ($W_\\infty=\\lim_{t\\to\\infty}W(t)$), o una soluci\u00f3n para el problema de valor inicial $W(0)=0$. Como veis, una potente herramienta.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Una ecuaci\u00f3n diferencial de la forma $$y’+a(x)y=b(x)y^n$$ se denomina ecuaci\u00f3n de Bernoulli. Hace referencia al mayor de los Bernoulli, Jakob(1654-1705), de cuya familia tenemos amplios conocimientos en las matem\u00e1ticas. Jakob la mostr\u00f3 en 1695 en \u00abExplicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. anni de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde… Seguir leyendo Ecuaci\u00f3n de Bernoulli<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[6,9],"tags":[42,209],"class_list":["post-3752","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-historia","category-personajes","tag-bernoulli","tag-leibniz","entry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3752","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=3752"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3752\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3754,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3752\/revisions\/3754"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=3752"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=3752"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=3752"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}