{"id":4228,"date":"2014-04-29T22:53:37","date_gmt":"2014-04-29T20:53:37","guid":{"rendered":"http:\/\/pimedios.es\/?p=4228"},"modified":"2014-04-29T23:10:43","modified_gmt":"2014-04-29T21:10:43","slug":"simson-y-el-numero-aureo","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/?p=4228","title":{"rendered":"Simson y el n\u00famero \u00e1ureo"},"content":{"rendered":"

\"\"<\/a> Tendemos a pensar que si hablamos de Simson, en matem\u00e1ticas, estamos cometiendo un error de escritura, por que es Simpson, de Thomas Simpson uno de los matem\u00e1ticos que m\u00e1s contribuy\u00f3 a expandir el c\u00e1lculo de las fluxiones<\/em> de Newton; pero no es as\u00ed. No hablamos de Thomas Simpson, sino de otro habitante de las islas, esta vez en la pr\u00f3spera Escocia, profesor de matem\u00e1ticas en la Universidad de Glasgow y que se llamaba Robert Simson.<\/p>\n

Este Simson parece que tuvo menos prestigio que su camarada contempor\u00e1neo ingl\u00e9s Simpson. De \u00e9l apenas tenemos un resultado mal atribuido, Simson line<\/a>, y una relaci\u00f3n con los n\u00fameros de Fibonacci y el n\u00famero \u00e1ureo que traemos aqu\u00ed.<\/p>\n

En 1753 public\u00f3 \u00abAn Explication of an Obscure Passage in Albert Girard’s Commentary upon Simon Stevin’s Works<\/em><\/a>\u00ab, en\u00a0Philosophical Transactions<\/em> ,(Phil. Trans. 1753-1754 48, doi: 10.1098\/rstl.1753.0056, published 1 January 1753). Simson trata de dar un poco de luz a uno de los trabajos de Albert Girard. Es precisamente este Girard a quien debemos la expresi\u00f3n de la sucesi\u00f3n de Fibonnaci como sucesi\u00f3n recursiva. En la obra L’Arithm\u00e9tique de Simon Stevin de Bruges (1634), Albert Girard introduce la f\u00f3rmula $$u_{n+2}=u_{n+1}+u_n,$$ que hoy tanto conocemos.<\/p>\n

Ya Girard se hab\u00eda percatado de que las sucesivas fracciones de los t\u00e9rminos de la sucesi\u00f3n de Fibonnaci converg\u00edan en el n\u00famero \u00e1ureo. Robert Simson lo vio y, adem\u00e1s, observ\u00f3 que, en general, cualquier sucesi\u00f3n recurrente de la forma dada por la recurrencia de Girard converger\u00eda al n\u00famero \u00e1ureo y cumplir\u00eda que el cuadrado de uno de sus t\u00e9rminos ser\u00eda igual al producto de sus t\u00e9rminos adyacentes salvo m\u00e1s menos una unidad.<\/p>\n

Su deducci\u00f3n carec\u00eda de la gran herramienta que proporcionar\u00eda mas tarde el uso de los l\u00edmites, que aqu\u00ed utilizar\u00e9 esta por ser m\u00e1s sencilla. \u00a0Si atendemos que\u00a0$$L=\\lim_{n\\to\\infty}\\frac{u_{n+1}}{u_{n}},$$ sustituimos la recurrencia y obtenemos\u00a0$$L=\\lim_{n\\to\\infty}\\frac{u_{n}}{u_{n+1}}=\\lim_{n\\to\\infty}\\frac{u_{n+1}-u_{n-1}}{u_{n+1}}=\\lim_{n\\to\\infty}\\left(1-\\frac{u_{n-1}}{u_{n+1}}\\right)=$$ $$=\\lim_{n\\to\\infty}\\left(1-\\frac{u_{n-1}}{u_n}\\,\\frac{u_{n}}{u_{n+1}}\\right)=1-L^2.$$<\/p>\n

Esto nos dice que el l\u00edmite es soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n $$L^2+L-1=0,$$ que como sabemos tiene por soluci\u00f3n $$L=\\frac{-1\\pm \\sqrt{5}}{2}.$$ Como no nos vale la soluci\u00f3n negativa tenemos $$\\lim_{n\\to\\infty}\\frac{u_{n}}{u_{n+1}}=\\frac{ \\sqrt{5}-1}{2}.$$<\/p>\n

As\u00ed<\/p>\n

$$\\lim_{n\\to\\infty}\\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\\frac{2}{ \\sqrt{5}-1}=\\frac{1+ \\sqrt{5}}{2}.$$<\/p>\n

No quiero terminar sin hacer una peque\u00f1a reflexi\u00f3n, que me lleva a realizar esta entrada: independientemente de la belleza de la sucesi\u00f3n de Fibonacci y su fascinaci\u00f3n, no hay nada m\u00edstico que la relacione con el n\u00famero \u00e1ureo, es una consecuencia de la sucesi\u00f3n de recurrencia de donde procede. Tanto es v\u00e1lido para la sucesi\u00f3n de Fibonacci como para cualquier sucesi\u00f3n dada por la recurrencia de Albert Girard.<\/p>\n

Esta entrada participa en la\u00a0<\/span>Edici\u00f3n 5.3: Felix Klein<\/a>\u00a0del\u00a0<\/span>Carnaval de Matem\u00e1ticas<\/a>\u00a0cuyo anfitri\u00f3n es\u00a0<\/span>Juegos Topol\u00f3gicos<\/a>.<\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

En 1753 Robert Simson publica una de las relaciones sobre la sucesi\u00f3n de Fibonacci y el n\u00famero \u00e1ureo que nos ha llegado hasta hoy.<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[6,9],"tags":[138,518,541],"class_list":["post-4228","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-historia","category-personajes","tag-fibonacci","tag-numero-aureo","tag-robert-simson","entry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/4228","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=4228"}],"version-history":[{"count":14,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/4228\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":4247,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/4228\/revisions\/4247"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=4228"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=4228"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=4228"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}