{"id":4516,"date":"2015-01-27T01:58:57","date_gmt":"2015-01-26T23:58:57","guid":{"rendered":"http:\/\/pimedios.es\/?p=4516"},"modified":"2015-01-27T02:06:43","modified_gmt":"2015-01-27T00:06:43","slug":"funcion-z-buscando-primos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/?p=4516","title":{"rendered":"Funci\u00f3n Z: buscando primos"},"content":{"rendered":"

\"\"<\/a>
By Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826-1866. Monatsberichte der Berliner Akademie, November 1859 [Public domain or Public domain], via Wikimedia Commons<\/figcaption><\/figure>Hoy en d\u00eda a todos conocemos (o, al menos, nos suena) la funci\u00f3n zeta de Riemann, $$\\zeta(s) = \\sum_{n=1}^\\infty \\frac{1}{n^s},$$ para valores complejos con parte real mayor que uno. Posiblemente la hip\u00f3tesis de Riemann<\/a> sobre esta funci\u00f3n sea el problema del siglo y quien lo resuelva pasar\u00e1 a los anales de las matem\u00e1ticas. Deseo contaros es un poco de la historia que\u00a0 condujo hac\u00eda Bernhard Riemann<\/a>.<\/p>\n

En 1737 Euler\u00a0 (el maestro de todos los matem\u00e1ticos, como lo llamar\u00eda William Dunham<\/a>) prob\u00f3 la existencia de infinitos primos de una forma muy peculiar y original $$\\sum_{n=1}^\\infty \\, \\frac{1}{n^s}\u00a0 = \\prod_{p} \\frac{1}{1-p^{-s}}(1), $$ para $s>1$.<\/p>\n

Para ser precisos Euler concluy\u00f3 que
\n$$\\sum_{n=1}^\\infty \\, \\frac{1}{n} = \\prod_{p} \\frac{1}{1-\\frac{1}{p}}(2), $$
\nque equival\u00eda a decir que el conjunto de n\u00fameros primos era infinito, pues s\u00f3lo de esa forma el producto de la derecha ser\u00eda divergente, de igual modo que la serie arm\u00f3nica de la izquierda. En el siglo XVIII de Euler no se las ten\u00edan con las precisiones y pulcritud demostrativa que Cauchy impondr\u00eda en el siguiente siglo. Por ese motivo el resultado esper\u00f3 hasta que Leopold Kronecker lo justificase con rigurosidad cauchiana<\/em> en 1876, interpretando el resultado (2) como haciendo tender $s\\to 1^+$ en $(1)$. No por ello las matem\u00e1ticas dejar\u00edan de progresar. Este hallazgo ser\u00eda el punto de partida para lo que se conocer\u00e1 como teor\u00eda anal\u00edtica de n\u00fameros.<\/p>\n

Curiosamente el resultado cumbre de la teor\u00eda anal\u00edtica de n\u00fameros, surge poco tiempo despu\u00e9s del trabajo de Euler, una vez m\u00e1s de la mano de otro genio. Con s\u00f3lo 14 a\u00f1os Gauss conjetura que
\n$$\\lim_{\\alpha\\to\\infty}\\frac{\\pi(\\alpha)\\ln\\alpha}{\\alpha}=1;$$
\nes decir, el n\u00famero de primos que no exceden de $\\alpha$ para valores cada vez m\u00e1s grandes de $\\alpha$ se aproxima al cociente $\\frac{\\alpha}{\\ln\\alpha}$.<\/p>\n

Gauss no lo prob\u00f3, tampoco Adrien-Marie Legendre que lo reformul\u00f3 en 1798. Tendr\u00edamos que esperarnos a 1896 para que lo hicieran, de forma independiente, Jacques Hadamard y Charles-Jean de la Vall\u00e9e Poussin, ambas demostraciones basadas en el trabajo de Riemann sobre la funci\u00f3n z.<\/p>\n

Volvamos a 1837 cuando, otro de los grandes impulsores de la teor\u00eda anal\u00edtica de n\u00fameros, entra en escena Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet<\/a>. Dirichlet desea probar la conjetura de Gauss y utiliza el trabajo de Euler para crear primero la serie de Dirichlet y despu\u00e9s las funciones L de Dirichlet<\/a>: $$L(s,\\chi) = \\sum_{n=1}^\\infty \\frac{\\chi(n)}{n^s},$$ donde $\\chi$ es un car\u00e1cter de Dirichlet y $s$ una variable compleja cuya componente real es mayor que 1. Estudiando esta serie Dirichlet prueba su c\u00e9lebre teorema relativo a los primos existentes en una progresi\u00f3n aritm\u00e9tica<\/a>.<\/p>\n

Y aqu\u00ed llegamos a 1859 cuando Riemann publica Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Gr\u00f6sse<\/em>, su ensayo Sobre el n\u00famero de n\u00fameros primos menores que una cantidad dada<\/i>. Riemann comienza el art\u00edculo diciendo:<\/p>\n

No creo expresar mejor mi agradecimiento por la distinci\u00f3n que la Academia me ha hecho al nombrarme como uno de sus correspondientes que haciendo uso el privilegio que conlleva dicho nombramiento para comunicarle una investigaci\u00f3n sobre la densidad de los n\u00fameros primos. Una materia que a causa del inter\u00e9s que Gauss y Dirichlet le han dedicado durante muchos a\u00f1os no parece indigna de una tal comunicaci\u00f3n. Para esta investigaci\u00f3n mi punto de salida es la observaci\u00f3n de Euler…(*)<\/p><\/blockquote>\n

Este ensayo contendr\u00e1 la archiconocida<\/em>\u00a0hip\u00f3tesis de Riemann<\/a>.<\/p>\n

Esta entrada participa en la Edici\u00f3n 5.X: Sofia Koval\u00e9vskaya<\/a> del Carnaval de Matem\u00e1ticas<\/a>, cuyo blog anfitri\u00f3n es ::ZTFNews<\/a><\/p><\/blockquote>\n

(*) Jos\u00e9 Luis Mu\u00f1oz, Rieman. Una visi\u00f3n nueva de la geometr\u00eda. Nivola.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Hoy en d\u00eda a todos conocemos (o, al menos, nos suena) la funci\u00f3n zeta de Riemann, $$\\zeta(s) = \\sum_{n=1}^\\infty \\frac{1}{n^s},$$ para valores complejos con parte real mayor que uno. Posiblemente la hip\u00f3tesis de Riemann sobre esta funci\u00f3n sea el problema del siglo y quien lo resuelva pasar\u00e1 a los anales de las matem\u00e1ticas. Deseo contaros… Seguir leyendo Funci\u00f3n Z: buscando primos<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[6,9],"tags":[613,132,612,611],"class_list":["post-4516","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-historia","category-personajes","tag-dirichlet","tag-euler","tag-funcion-zeta","tag-hipotesis-de-riemann","entry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/4516","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=4516"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/4516\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":4521,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/4516\/revisions\/4521"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=4516"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=4516"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=4516"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}