![\"\"](\"http:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/1\/1b\/Abraham_de_moivre.jpg\/220px-Abraham_de_moivre.jpg\")
Conocemos que la funci\u00f3n distribuci\u00f3n de la distribuci\u00f3n normal est\u00e1 definida como $$\\Phi_{\\mu,\\sigma^2}(x)=\\frac{1}{\\sigma\\sqrt{2\\pi}}\\int_{-\\infty}^xe^{-\\frac{(u – \\mu)^2}{2\\sigma^2}}\\, du ,\\quad x\\in\\mathbb{R}$$<\/p>\n
La funci\u00f3n $$f(x)=\\frac{1}{\\sigma\\sqrt{2\\pi}}e^{-\\frac{(x – \\mu)^2}{2\\sigma^2}}$$ la conocemos como la funci\u00f3n gaussiana, y a su integral la integrala gaussiana. Gauss la public\u00f3 en un trabajo de 1809, donde apareci\u00f3 el resultado famoso
\n$$\\int_{-\\infty}^\\infty e^{-x^2}\\,dx = \\sqrt{\\pi}.$$<\/p>\n
Karl Pearson nos dice en [1] que el primer trabajo sobre esa funci\u00f3n no fue de Gauss, sino de Abraham de Moivre. De Moivre hab\u00eda estado estudiando la distribuci\u00f3n binomial de Jakob Bernoulli. En un trabajo de 1733, De Moivre considera la f\u00f3rmula de Stirling Impl\u00edcitamente, el teorema de Moivre-Laplace, nos ofrece una aproximaci\u00f3n normal a la distribuci\u00f3n binomial. Ser\u00e1n los trabajos de Gauss, en 1809, y Laplace, desde 1774 hasta su formulaci\u00f3n en 1812[3], los que concretar\u00e1n lo que hoy conocemos como distribuci\u00f3n normal.<\/p>\n Laplace hab\u00eda tratado este tipo de integrales con anterioridad a Gauss, de hecho en 1774 [4] se plantea c\u00f3mo resolver la integral anterior. Para ello estudia la integral Es muy probable que Gauss no conociese este resultado de Laplace; igual que Laplace desconociese los trabajos de Gauss; ambos genios eran autosuficientes. Sus demostraciones fueron diferentes. Esa es una diferencia de las matem\u00e1ticas respecto de otras ciencias: Si un resultado es cierto podemos encontrar su demostraci\u00f3n por diferentes caminos, a veces, aparentemente poco relacionados.<\/p>\n Esta entrada participa en la Edici\u00f3n 6.1<\/a> del Carnaval de Matem\u00e1ticas<\/a> cuyo anfitri\u00f3n es Tito Eliatron Dixit<\/a>.<\/p><\/blockquote>\n
\n$$n! \\simeq n^n e^{-n}\\sqrt{2 \\pi n}\\qquad \\text{cuando } n \\to \\infty,$$
\npara concluir que
\n$${n \\choose k}\\, p^k q^{n-k} \\simeq \\frac{1}{\\sqrt{2 \\pi npq}}\\,e^{-\\frac{(k-np)^2}{2npq}}, \\text{ con } p+q=1, \\, p, q > 0$$
\nEn un trabajo recopilatorio De Moivre, Doctrine of Chances<\/em> (1738), lo ejemplificar\u00eda para $p=\\frac{1}{2}$; pero habr\u00eda que esperar a 1812 para que Laplace lo formalizase en un teorema, el Teorema de Moivre-Laplace<\/a>, donde nos aparece la integral $$\\int_{\\infty}^{\\infty}e^{-\\frac{x^2}{2}}\\, dx.$$<\/p>\n
\n$$\\int_0^1\\frac{dx}{\\sqrt{-\\log x}}(*)$$ Si $y=\\sqrt{-\\log x}$, la integral se transforma en
\n$$2\\int_0^\\infty e^{-y^2}dy.$$
\nVeamos como Laplace resuelve $(*)$, para hacerlo utiliza la f\u00f3rmula de Euler:
\n$$\\int_0^1\\frac{x^rdx}{\\sqrt{1-x^{2s}}}\\int_0^1\\frac{x^{s+r}dx}{\\sqrt{1-x^{2s}}}=\\frac{1}{s(r+1)}\\,\\frac{\\pi}{2},$$
\npara $r$ y $s$ positivos. Si hacemos tender $r\\to 0$, tendremos
\n$$\\int_0^1\\frac{dx}{\\sqrt{1-x^{2s}}}\\int_0^1\\frac{x^{s}dx}{\\sqrt{1-x^{2s}}}=\\frac{1}{s}\\,\\frac{\\pi}{2},$$
\nAhora haciendo $s\\to 0$, y observando que $1-x^{2s}\\simeq -2s\\log x$ (por la relga de L’Hopital), tendremos
\n$$\\left(\\int_0^1\\frac{dx}{\\sqrt{-\\log x}}\\right)^2=\\pi.$$
\nEn consecuencia
\n$$\\int_0^\\infty e^{-y^2}dy=\\frac{\\sqrt{\\pi}}{2}.$$<\/p>\nReferencia<\/h3>\n