{"id":4819,"date":"2016-04-22T17:03:14","date_gmt":"2016-04-22T15:03:14","guid":{"rendered":"http:\/\/pimedios.es\/?p=4819"},"modified":"2016-04-22T17:03:14","modified_gmt":"2016-04-22T15:03:14","slug":"el-automata-planetario-de-huygens-y-las-fracciones-continuas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/?p=4819","title":{"rendered":"El aut\u00f3mata planetario de Huygens y las fracciones continuas"},"content":{"rendered":"
\"huygens-planetarium\"
Vista interior del aut\u00f3mata planetario de Christiaan Huygens<\/figcaption><\/figure>\n

Christiaan Huygens fue un astr\u00f3nomo, f\u00edsico y matem\u00e1tico holand\u00e9s del siglo XVII. Es considerado uno de los grandes sabios del siglo y dedic\u00f3 gran parte de su trabajo al estudio de la astronom\u00eda. Nos interesa particularmente el aut\u00f3mata planetario que ide\u00f3 y construy\u00f3, previsiblemente entre 1665 y 1681, aunque su descripci\u00f3n no se public\u00f3 hasta 1703, despu\u00e9s de su muerte.<\/p>\n

La principal dificultad del aut\u00f3mata, que simular\u00eda el movimiento de los planetas del Sistema Solar, era la dimensiones de las ruedas dentadas. Huygens, que ten\u00eda experiencia en la construcci\u00f3n de relojes, sab\u00eda que la relaci\u00f3n entre las \u00f3rbitas de los planetas deb\u00eda reflejarse con precisi\u00f3n en los engranajes que reg\u00edan los movimientos de los planetas.<\/p>\n

Por esas fechas, John Wallis trabajaba en sucesiones de recurencia, utilizando las fracciones que \u00e9l denominar\u00eda \u00abcontinue fractum\u00bb<\/em>, fracciones continuas. Huygens, que conoci\u00f3 el trabajo de Wallis, pens\u00f3 en las fracciones continuas para calcular los engranajes. Si deseamos que un engranaje produzca $n$ revoluciones en un eje y $m$ en otro, el n\u00famero de dientes deben segir la proporci\u00f3n $\\frac{n}{m}$.<\/p>\n

En el estudio de las orbitas para los planetas, Huygens se top\u00f3 con la dificultad de la duraci\u00f3n de un a\u00f1o terrestre y uno de Saturno. El giro de la Tierra en un a\u00f1o consist\u00eda en 359\u00ba 45′ 40\u00bb 31\u00bb’, mientras que en Saturno Huygens lo hab\u00eda estimado en 12\u00ba 13′ 34\u00bb 18\u00bb’. Si lo trasladamos a una fracci\u00f3n esta ser\u00eda $$\\frac{2640858}{77708431}.$$<\/p>\n

Huygens utiliza las fracciones continuas para reducir el perido m\u00e1s largo sobre el m\u00e1s corto:
\n$$
\n\\frac{2640858}{77708431}=
\n29+\\frac{1}{2+\\frac{1}{2+\\frac{1}{1+\\frac{1}{5+\\frac{1}{1+\\frac{1}{1+\\frac{1}{1+\\frac{1}{4}}}}}}}}
\n$$
\nHuygens decidi\u00f3 coger la raz\u00f3n $\\frac{2640858}{77708431}$ como $\\frac{7}{206}$, a causa de que
\n$$\\frac{2640858}{77708431}\\approx\\frac{206}{7}=29+\\frac{1}{2+\\frac{1}{2+\\frac{1}{1}}},$$
\ncon un error del orden de $\\frac{3}{1000}$. As\u00ed Christiaan Huygens construye un engranaje con una rueda de 206 dientes, para Saturno, un pi\u00f1on de 7 en la barra de hierro principal. Para el resto de planetas determina ruedas de 166 dientes con un pi\u00f1\u00f3n 14(166\/14) para J\u00fapiter; 158\/84 para Marte; 32\/52 para Venus; 17\/7 para Mercurio.<\/p>\n

Una nueva prueba de c\u00f3mo para resultados matem\u00e1ticos \u00abaparentemente in\u00fatiles\u00bb el tiempo descubre consecuencias que no se hab\u00edan reparado.<\/p>\n

Esta entrada participa en la Edici\u00f3n 7.3<\/b><\/a> del Carnaval de Matem\u00e1ticas<\/a> cuyo anfitri\u00f3n es pimedios<\/b><\/a><\/u>.<\/p><\/blockquote>\n

Referencias:<\/h3>\n