El teorema de Wilson nos dice que p<\/i> es un n\u00famero primo, entonces
\n$$(p\u22121)! \\equiv -1 (\\text{mod }p)$$<\/p>\n
El rec\u00edproco tambi\u00e9n es cierto. En efecto, supongamos tenemos un n\u00famero mayor que 1, $n\\in\\mathbb{Z}^+$, compuesto y que verifica la igualdad anterior. Entonces por ser compuesto existen $a,b\\in\\mathbb{Z}^+$ tales que $n=a\\,b$, siendo $1<a,b<n$. Como\u00a0$(n\u22121)! \\equiv -1 (\\text{mod }n)$, implica que\u00a0$(n\u22121)! +1=k\\,n$ para cierto $k\\in\\mathbb{Z}$. Ahora, tanto $a$ como $b$ al ser factores de $n$ est\u00e1n en el producto $(n-1)!$. En consecuencia, $a$ divide a $n$ y, adem\u00e1s, $a$ es un factor de\u00a0$(n-1)!$. Luego existen $r$ y $s$ enteros tales que<\/p>\n
$$(n\u22121)! +1=k\\,n\\Rightarrow a\\,r+1=k\\,s\\,a\\Rightarrow 1=(k\\,s-r)\\,a$$<\/p>\n
Pero esto es absurdo, pues 1 no se puede factorizar con n\u00fameros enteros mayores que \u00e9l. \u00bfD\u00f3nde est\u00e1 el error? En suponer que $n$ es compuesto.<\/p>\n
Sabemos que el resultado lo public\u00f3 el profesor lucassiano Edwar Waring en la obra Meditationes Algebraicae<\/i> (Cambridge, Inglaterra: 1770), comentando un enunciado sugerido por su alumno John Wilson:<\/p>\n \u00abHanc maxime elegantem primorum numerorum proprietatem invenit vir clarissimus, rerumque mathematicarum peritissimus Joannes Wilson Armiger.\u00bb<\/p><\/blockquote>\n Sin embargo, ni Waring ni su alumno Wilson probaron el resultado, ni se dieron cuenta que el inverso tambi\u00e9n era cierto. Fue Lagrange quien prob\u00f3 ambas proposiciones en 1773.<\/p>\n El resultado es tan sencillo que apetece utilizarlo para probar si un n\u00famero es primo. Pero esconde una dificultad extrema: el c\u00e1lculo del factorial. La complejidad para calcular un factorial es de orden $O(n)$. Lo que significa que si en un ordenador tardamos 1 segundo en calcular 10!, emplear\u00edamos, como m\u00e1ximo, 2 segundos en calcular 20!, \u00a0y $n$ segundos en $n!$. Hoy las computadoras son incre\u00edblemente r\u00e1pidas, y el tiempo se reduce. Aun as\u00ed, cu\u00e1nto tardar\u00edamos en computar el m\u00e1s de un mill\u00f3n de cifras de 200000!.<\/p>\n As\u00ed que pong\u00e1monos en marcha y apliquemos nuestros Este post participa en la Edici\u00f3n 8.3 del\u00a0Carnaval de Matem\u00e1ticas<\/a>\u00a0<\/strong><\/em>cuyo anfitri\u00f3n es el\u00a0Blog Semillas<\/strong><\/a><\/em>.<\/em><\/a><\/p><\/blockquote>\n <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Un paseo por el teorema de Wilson de los n\u00fameros primos y su ramificaciones.<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[6,9],"tags":[689,690],"class_list":["post-4898","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-historia","category-personajes","tag-edwar-waring","tag-wilson","entry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/4898","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=4898"}],"version-history":[{"count":6,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/4898\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5078,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/4898\/revisions\/5078"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=4898"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=4898"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=4898"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}conocimientos<\/del> alumnos<\/em> en encontrar un algoritmo que reduzca el tiempo. De partida podemos empezar con estos: \u00a0The Homepage of Factorial Algorithms<\/a>. Y si lo consiguen mejorarlo, siempre podremos ponerle nuestro nombre como hac\u00eda Pit\u00e1goras.<\/p>\n