{"id":4900,"date":"2016-05-13T12:57:47","date_gmt":"2016-05-13T10:57:47","guid":{"rendered":"http:\/\/pimedios.es\/?p=4900"},"modified":"2016-05-13T12:58:13","modified_gmt":"2016-05-13T10:58:13","slug":"aureum-theorema","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/?p=4900","title":{"rendered":"Aureum Theorema"},"content":{"rendered":"

De siempre se ha comentado entre los matem\u00e1ticos que la teor\u00eda de n\u00fameros es la prima donna<\/em> de las disciplinas matem\u00e1ticas. Y dentro de la teor\u00eda de n\u00fameros aparece un resultado predominante: La Ley de Reciprocidad Cuadr\u00e1tica.<\/p>\n

Ocupado con otro trabajo, me encontr\u00e9 con una verdad artm\u00e9tica extraordinaria. como la consider\u00e9 muy bella en si misma, concentr\u00e9 en ella todos mis esfuerzos para entender los principios de los cuales depend\u00eda y para obtener un prueba rigurosa. C.F. Gauss.<\/p><\/blockquote>\n

Gauss se enfrentaba a la Ley de Reciprocidad Cuadr\u00e1tica, y no se conform\u00f3 con dar una demostraci\u00f3n, en 1801 en su libro Disquisitones Arithmeticae<\/i>, da dos demostraciones y lo denomina Aureum Theorema<\/em>. A\u00f1os despu\u00e9s completar\u00eda a ocho demostraciones de teorema.<\/p>\n

Este problema surge con la ecuaci\u00f3n de congruencias $$x^2\\equiv a (\\text{mod }p).$$ Si existe tal soluci\u00f3n decimos que $a$ es un residuo cuadr\u00e1tico m\u00f3dulo $p$, y el problema se traude en encontrar los residuos cuadr\u00e1ticos.<\/p>\n

Es posible que Fermat sembrara la semilla, como en tantas otras ecuaciones, cuando enunci\u00f3 cierto (recordemos que nunca presentaba la demostraci\u00f3n) que un primo $p$ pod\u00eda descomponerse en suma de dos cuadrados s\u00ed, y s\u00f3lo si, el primo era 2 o de la forma 4k+1. Fermat di\u00f3 m\u00e1s resultados similares, pero no los trataremos aqu\u00ed.<\/p>\n

Euler comenz\u00f3 a estudiar el problema enunciando que si $p$ era un n\u00famerp primo impar y $a$ un entero cualquiera coprimo con $p$, entonces $$a^{\\frac{p-1}{2}}\\equiv \\pm 1 (\\text{mod }p).$$<\/p>\n

Pero, \u00bfqu\u00e9 ocurrir\u00eda si tratamos de relacionar dos primos?; es decir, $x^2\\equiv q (\\text{mod }p)$, y, $y^2\\equiv p (\\text{mod }q)$ para dos primos impares. Esto dar\u00eda pie a Euler para afirmar:<\/p>\n

    \n
  1. $q=4k+1$ es un residuo cuadr\u00e1tico m\u00f3dulo $p$ s\u00ed, y s\u00f3lo si, $p$ es congruente con un residuo cuadr\u00e1tico m\u00f3dulo $q$<\/li>\n
  2. $q=4k+3$ es un residuo cuadr\u00e1tico m\u00f3dulo $p$ s\u00ed, y s\u00f3lo si, $p$ es congruente con $\\pm b^2$ m\u00f3dulo $4q$, donde $b$ es impar no divisible por $q$<\/li>\n<\/ol>\n

    Esto no es exactamente la Ley, pero fue una primera aproximaci\u00f3n.<\/p>\n

    Legendre dio el gran paso, y en \u00e9l introdujo su s\u00edmbolo que utilizamos hoy:<\/p>\n

    $$\\left(\\frac{a}{p}\\right)\u00a0 = \\begin{cases} 0 & a \\equiv 0 \\pmod{p} \\\\ 1 & a \\not\\equiv 0\\pmod{p} \\text{ y } \\exists x : a\\equiv x^2\\pmod{p} \\\\-1 &a \\not\\equiv 0\\pmod{p} \\text{ y no hay tal } x. \\end{cases}$$<\/p>\n

    As\u00ed Legendre formular\u00eda la Ley de Reciprocidad Cuadr\u00e1tica como m\u00e1s frecuentemente se utiliza hoy: Para dos primos impares $p$ y $q$ se cumple<\/p>\n

    $$ \\left(\\frac{p}{q}\\right) \\left(\\frac{q}{p}\\right) = (-1)^{\\frac{(p-1)(q-1)}{4}}.$$<\/p>\n

    Legendre lo demostrar\u00eda en 1798, una demostraci\u00f3n que se basaba en argumentos no probados. dos a\u00f1os despu\u00e9s de que Gauss descubriera una demostraci\u00f3n, a la edad de 19 a\u00f1os. Sin embargo, ser\u00eda la publicada en 1801, la que presenta el otro enunciado de esta ley:<\/p>\n

    Sean $p$ y $q$ primos impares. Entonces<\/p>\n

      \n
    1. Si $p$ es de la forma $4k+1$, entonces $q$ es un residuo cuadr\u00e1tico m\u00f3dulo $p$ s\u00ed, y s\u00f3lo si, $p$ es un residuo cuadr\u00e1tico m\u00f3dulo $q$.<\/li>\n
    2. Si $p$ es de la forma $4k+3$, entonces $q$ es un residuo cuadr\u00e1tico m\u00f3dulo $p$ s\u00ed, y s\u00f3lo si, $-p$ es un residuo cuadr\u00e1tico m\u00f3dulo $q$.<\/li>\n<\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

      El resultado de la teor\u00eda de n\u00famero la Ley de Reciprocidad Cuadr\u00e1tica que Gauss denominar\u00eda Aureum Theorema<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[6,9],"tags":[132,136,151,208],"class_list":["post-4900","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-historia","category-personajes","tag-euler","tag-fermat","tag-gauss","tag-legendre","entry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/4900","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=4900"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/4900\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":4903,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/4900\/revisions\/4903"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=4900"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=4900"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=4900"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}