{"id":4936,"date":"2016-09-21T10:00:58","date_gmt":"2016-09-21T08:00:58","guid":{"rendered":"http:\/\/pimedios.es\/?p=4936"},"modified":"2016-09-21T10:00:58","modified_gmt":"2016-09-21T08:00:58","slug":"calculamos-pi","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/?p=4936","title":{"rendered":"\u00bfCalculamos $\\pi$?"},"content":{"rendered":"

Desde la antig\u00fcedad la fascinaci\u00f3n por calcular las cifras decimales de $\\pi$ motiv\u00f3 a los matem\u00e1ticos. Arqu\u00edmedes, Ptolomeo, Liu Hui, Zu Chongzhi, al-Kashi, Vi\u00e8te, Leibniz, Newton, … y un largo etc\u00e9tera pusieron su empe\u00f1o en encontrar procedimientos que abreviasen el c\u00f3mputo de $\\pi$, o los obtuviesen con mayor precisi\u00f3n. La f\u00f3rmula m\u00e1s precisa que se consigui\u00f3 antes de la eclosi\u00f3n de los computadores, la descubri\u00f3 el genio indio Srinivasa Ramanujan(Ramanujan y el n\u00famero pi<\/a>):
\n$${\\frac {1}{\\pi }}={\\frac {2{\\sqrt {2}}}{9801}}\\sum _{k=0}^{\\infty }{\\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}$$<\/p>\n

que obtiene 8 decimales exactos de $\\pi$ en cada iteraci\u00f3n. Pero estamos en la era de los computadores, \u00bfc\u00f3mo lo hacemos ahora?<\/p>\n

En 1984, los hermanos Jonathan<\/a> y Peter Borwein<\/a>\u00a0\u00a0 publican una iteraci\u00f3n de convergencia de orden\u00a0 4: dados<\/p>\n

$${\\begin{aligned}a_{0}&=2{\\big (}{\\sqrt {2}}-1{\\big )}^{2}\\\\y_{0}&={\\sqrt {2}}-1\\end{aligned}}$$<\/p>\n

entonces,<\/p>\n

$${\\begin{aligned}y_{k+1}&={\\frac {1-(1-y_{k}^{4})^{1\/4}}{1+(1-y_{k}^{4})^{1\/4}}}\\\\a_{k+1}&=a_{k}(1+y_{k+1})^{4}-2^{2k+3}y_{k+1}(1+y_{k+1}+y_{k+1}^{2})\\end{aligned}}$$<\/p>\n

La sucesi\u00f3n $a_k$ converge a $1\/\\pi$. Los dos hermanos hab\u00edan encontrado alguna m\u00e1s, con orden de convergencia mayores. En 1986, David Harold Bailey utiliz\u00f3 una de ellas para desarrollar un programa de c\u00e1lculo de $\\pi$, escrito para la NASA, como test para detectar problemas en la Cray-2[1<\/a>].<\/p>\n

En 1995 Peter Borwein y Simon Plouffe encuentran una forma de calcular d\u00edgitos en binario del logaritmo de 2, empezando en una cifra arbitraria. Plouffe se da cuenta que tiene un fil\u00f3n y produce la f\u00f3rmula:
\n$$\\pi =\\sum _{k=0}^{\\infty }\\left[{\\frac {1}{16^{k}}}\\left({\\frac {4}{8k+1}}-{\\frac {2}{8k+4}}-{\\frac {1}{8k+5}}-{\\frac {1}{8k+6}}\\right)\\right]$$
\nEl estudio de esta f\u00f3rmula y su aplicaci\u00f3n para calcular $\\pi$ lo publican David H. Bailey<\/a>, Peter Borwein<\/a>, and Simon Plouffe<\/a> en 1997 \u00abThe BBP Algorithm for Pi\u00bb<\/a> (PDF).<\/span><\/cite><\/span><\/p>\n

Con esta f\u00f3rmula, uno puede derivar un algoritmo que compute d\u00edgitos de $\\pi$ en una posici\u00f3n arbitraria y, adem\u00e1s, en base hexadecimal. En 1997, Frabrice\u00a0 Bellard de INRIA, calcul\u00f3 152 d\u00edgitos binarios de $\\pi$ empezando en la billon\u00e9sima posici\u00f3n digital binaria. El c\u00e1lculo tard\u00f3 12 d\u00edas en 20<\/span> estaciones de trabajo que trabajan en paralelo a trav\u00e9s de Internet. Repetir\u00eda la proeza en \u00faltimo d\u00eda del a\u00f1o 2009, con 9 Desktop PCs,\u00a0 Core i7 CPU a 2.93\u00a0GHz, durante 131 d\u00edas, para obtener m\u00e1s de $2\\times 10^{12}$ decimales.
\n<\/span><\/span><\/p>\n

En los a\u00f1os 80 del pasado siglo, Yasumasa Kanada<\/a> tambi\u00e9n trabajaba en el c\u00e1lculo de decimales de $\\pi$, utilizando HITAC S-820\/80, con procesador vectorial, llegando a obtener 1.073.740.799 decimales. Pero los hermanos Chudnovsky no le iban a la zaga, utilizando un IBM 3090, y la f\u00f3rmula:<\/p>\n

$${\\frac {1}{\\pi }}=12\\sum _{k=0}^{\\infty }{\\frac {(-1)^{k}(6k)!(545140134k+13591409)}{(3k)!(k!)^{3}(640320^{3})^{k+1\/2}}}.\\!
\n$$<\/p>\n

El algoritmo dado por los hermanos Chudnovsky se us\u00f3 en diciembre de 2013 para alcanzar los 12.1 billiones de d\u00edgitos[2<\/a>].<\/p>\n

\"Super<\/a>
CC BY-SA 3.0<\/a>, https:\/\/en.wikipedia.org\/w\/index.php?curid=14397305<\/a><\/span><\/figcaption><\/figure>\n

As\u00ed que Kanada, viendo como estaban los competidores, se escurri\u00f3 el cerebelo y desarroll\u00f3 Super PI<\/a>, un programa (ejecutable en Windows) que permit\u00eda calcular un n\u00famero determinado de decimales a partir de uno dado; es decir, el mismo sistema que se le ocurri\u00f3 a Plouffe. Super PI<\/em> utiliza el algoritmo de Gauss-Legendre<\/a>:<\/p>\n

Primero inicializamos: $a_{0}=1\\qquad b_{0}={\\frac\u00a0 {1}{{\\sqrt\u00a0 {2}}}}\\qquad t_{0}={\\frac\u00a0 {1}{4}}\\qquad p_{0}=1.$<\/p>\n

Segundo, iteramos hasta que la diferencia de $a_n$ y $b_n$ sea de la precisi\u00f3n deseada:<\/p>\n

$${\\begin{aligned}a_{{n+1}}&={\\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\\\\b_{{n+1}}&={\\sqrt {a_{n}b_{n}}},\\\\t_{{n+1}}&=t_{n}-p_{n}(a_{{n}}-a_{{n+1}})^{2},\\\\p_{{n+1}}&=2p_{n}.\\end{aligned}}$$<\/p>\n

Por \u00faltimo aproximamos<\/p>\n

$$\\pi \\approx {\\frac\u00a0 {(a_{{n+1}}+b_{{n+1}})^{2}}{4t_{{n+1}}}}.$$<\/p>\n

Con este algoritmo Kanada batir\u00eda el r\u00e9cord en 2002, 1.241.100.000.000 d\u00edgitos[3<\/a>]<\/p>\n

Super Pi<\/em> se vio pronto superado por el programa y<\/i><\/span>-cruncher<\/b> de Alexander Yee<\/a>, con el que Shigeru Kondo comenz\u00f3 a desbordar r\u00e9cord, desde agosto de 2010, hasta alcanzar los 12.1 billones de digitos – Diciembre de 2013<\/a>. En la actualidad y<\/i><\/span>-cruncher<\/b> mantiene el r\u00e9cord, obtenido en octubre de 2014, con 13.3 billones de d\u00edgitos. El programa utiliza la f\u00f3rmula de los hermanos Chudnovsky. El \u00faltimo r\u00e9cord se consigui\u00f3 con 2 x Xeon E5-4650L @ 2.6\u00a0GHz, 192 GB DDR3 @ 1333\u00a0MHz y 24 x 4 TB + 30 x 3 TB.<\/p>\n

Como veis, utilizando una f\u00f3rmula y paralelizando sus desarrollos podemos encontrar las cifras de $\\pi$ que deseemos, s\u00f3lo es cuesti\u00f3n de tiempo. Por ejemplo, en A very simple simulation program: Parallel computation of PI<\/a>, encontr\u00e1is un programa sencillo que se basa en una aproximaci\u00f3n por Simpson de la integral<\/p>\n

$$\\int_0^1\\frac{4}{1+x^2}dx. $$<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Los esfuerzos en el c\u00e1lculo de d\u00edgitos de pi.<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[6,9],"tags":[701,702,704,700,703],"class_list":["post-4936","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-historia","category-personajes","tag-alexander-yee","tag-chudnovsky","tag-super-pi","tag-y-cruncher","tag-yasumasa-kanada","entry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/4936","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=4936"}],"version-history":[{"count":9,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/4936\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":4945,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/4936\/revisions\/4945"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=4936"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=4936"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=4936"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}