{"id":4966,"date":"2016-11-02T19:00:13","date_gmt":"2016-11-02T17:00:13","guid":{"rendered":"http:\/\/pimedios.es\/?p=4966"},"modified":"2016-11-24T22:05:21","modified_gmt":"2016-11-24T20:05:21","slug":"el-radio-de-curvatura-de-johann-bernoulli","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/?p=4966","title":{"rendered":"El radio de curvatura de Johann Bernoulli"},"content":{"rendered":"
\"Circunferencia<\/a>
De Algarabia<\/a> – File:Cercle osculateur – osculating circle.png<\/a> Jean-Jacques MILAN<\/a> (talk<\/span><\/a>), Dominio p\u00fablico, Link<\/a><\/span><\/figcaption><\/figure>\n

Con la aparici\u00f3n del c\u00e1lculo diferencial en el siglo XVII el proceso de calcular tangentes resultaba sumamente sencillo. \u00bfY si buscamos que la tangente sea una circunferencia? Es decir, la circunferencia tangente en el punto dado de una curva. Isaac Newton la describi\u00f3 en su Principia,<\/em> dando una construcci\u00f3n geom\u00e9trica para conseguirla. Esta circunferencia se denomina \u00a0circunferencia osculatriz,<\/a> que fue llamada\u00a0\u00abcirculum osculans<\/em>\u00bb (\u00abc\u00edrculo que besa\u00bb) por Leibniz<\/a>. Se trata de\u00a0una circunferencia cuyo centro se encuentra sobre la recta normal a la curva, llamado centro de curvatura, y un radio que denominamos radio de curvatura de la curva en ese punto. Ser\u00e1 un siglo despu\u00e9s cuando la geometr\u00eda diferencial de curvas tendr\u00e1 su esplendor, consiguiendo las f\u00f3rmulas del triedro de Fr\u00eanet-Serret que hoy conocemos. Pero a finales del XVII ya se ve\u00eda la relaci\u00f3n directa entre la longitud de arco y el radio de curvatura.<\/p>\n

La f\u00f3rmula del radio de curvatura para una curva plana, $y=f(x)$, es la dada por $$R_{c}={\\frac {\\left[1+\\left({\\frac {df}{dx}}\\right)^{2}\\right]^{\\frac {3}{2}}}{\\left|{\\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}\\right\\vert}}$$
\nEsta f\u00f3rmula la describi\u00f3 Johann Bernoulli en sus trabajos, deduci\u00e9ndola de la siguiente forma.<\/p>\n

\"radio_curvatura\"<\/p>\n

Consideremos el radio $\\overline{OD}$ y $\\overline{BD}$, perpendiculares a la curva $AB$, que se unen en el centro de la circunferencia osculatriz $D$ de nuestra figura. El radio de la curvatura en $B$ es $r=\\overline{BD}$, y la diferencial de la longitud de arco es $ds=\\overline{BO}$. Del hecho que los tri\u00e1ngulos $BHJ$ y el dado por los segmentos $ds$, $dx$ y $dy$, son semejantes, se sigue que
\n$$\\frac{\\overline{JH}}{\\overline{BJ}}=\\frac{dy}{dx}.$$
\nAhora,
\n$$\\frac{\\overline{JH}}{\\overline{BJ}}=\\frac{\\overline{AH}-x}{y}.$$ Por tanto,
\n$$\\overline{AH}=x+y\\frac{dy}{dx}.$$
\nCogemos $x$ como variable independiente tal que $d^2x=0$, de donde seguimos que $\\overline{GH}$, como diferencial de $\\overline{AH}$, estar\u00e1 dado por
\n$$\\overline{GH}=d(\\overline{AH})=d\\left(x+y\\frac{dy}{dx}\\right)=dx+\\frac{(dy)^2+yd^2y}{dx}.$$
\nA continuaci\u00f3n Johann Bernoulli pone de manifiesto la semejanza de los tri\u00e1ngulos $DGH$ y $DCB$, que dan la proporci\u00f3n
\n$$\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{HG}}=\\frac{\\overline{BD}}{\\overline{HD}}.$$
\nResulta que
\n$$\\overline{BC}=\\frac{(dx)^2+(dy)^2}{dx},\\quad \\overline{BD}=r,$$
\ny
\n$$\\overline{HD}=r-\\overline{BH}=r-\\frac{y\\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}}{dx}.$$
\nS\u00f3lo nos queda sustituir en las ecuaciones anteriores para obtener
\n$$r=-\\frac{\\left[(dx)^2+(dy)^2\\right]^{3\/2}}{(dx)(d^2y)}=\\frac{(ds)^3}{(dx)(d^2y)}.$$
\nAs\u00ed consigue Johann Bernoulli encontrar el radio de curvatura. El paso para obtener la primera f\u00f3rmula es dividir numerador y denominador por $(dx)^3$. Pero esa f\u00f3rmula no la utiliz\u00f3 Johann Bernoulli. En aquel siglo la formulaci\u00f3n de $y=f(x)$ todav\u00eda no se utilizaba.<\/p>\n

Esta entrada participa en la Edici\u00f3n 7.7 <\/a>del Carnaval de Matem\u00e1ticas,<\/a> que en esta ocasi\u00f3n organiza Los Matem\u00e1ticos no son gente seria<\/a>.<\/p><\/blockquote>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

La obtenci\u00f3n del radio de curvatura por Johann Bernoulli<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[6,9],"tags":[705],"class_list":["post-4966","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-historia","category-personajes","tag-johann-bernoulli","entry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/4966","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=4966"}],"version-history":[{"count":10,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/4966\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":4990,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/4966\/revisions\/4990"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=4966"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=4966"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=4966"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}