{"id":5030,"date":"2017-02-22T09:52:09","date_gmt":"2017-02-22T07:52:09","guid":{"rendered":"http:\/\/pimedios.es\/?p=5030"},"modified":"2017-02-22T09:52:09","modified_gmt":"2017-02-22T07:52:09","slug":"como-resolver-un-juego-de-monedas-con-induccion-matematica-i","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/?p=5030","title":{"rendered":"C\u00f3mo resolver un juego de monedas con inducci\u00f3n matem\u00e1tica (I)"},"content":{"rendered":"<p>Conocemos cientos de ejemplos donde las matem\u00e1ticas nos ilustran el procedimiento para resolver un problema aparentemente alejado de ellas. A los alumnos este tipo de juegos les despierta la curiosidad. Precisamente al estudiar la inducci\u00f3n matem\u00e1tica me ha surgido un ejemplo digno de captar la atenci\u00f3n\u00a0de nuestros alumnos m\u00e1s hambrientos de conocimiento. En esta entrada relataremos el problema y en la pr\u00f3xima daremos la soluci\u00f3n matem\u00e1tica del mismo.<\/p>\n<p>Primero le pondremos\u00a0un nombre: El solitario de monedas, o, Fila cero. La verdad es que cualquiera de estos nombres es inventado, porque el original lo desconozco(si alguien sabe el nombre o su procedencia que lo indique; es posible que Martin Gardner est\u00e9 detr\u00e1s).<\/p>\n<p>Comencemos con la exposici\u00f3n de nuestro particular solitario. Supongamos que disponemos de un n\u00famero de monedas (grande o peque\u00f1o da igual) que colocaremos en filas sobre la mesa donde vamos a jugar. Al colocarlas al azar, dispondremos de una serie de filas donde veremos la cara o cruz de las mismas. Por ejemplo:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-5034\" src=\"http:\/\/pimedios.es\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/monedas1.png\" alt=\"monedas1\" width=\"573\" height=\"287\" srcset=\"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/monedas1.png 957w, https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/monedas1-300x150.png 300w, https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/monedas1-768x385.png 768w\" sizes=\"auto, (max-width: 573px) 100vw, 573px\" \/><\/p>\n<p>La cara es el dibujo de nuestros reyes y la cruz muestra al quijote. El juego consiste en, eliminando todas las monedas de una fila que muestren una cara, dejar libre la fila de monedas, de ah\u00ed Fila cero. Pero debemos ejecutar una acci\u00f3n en la fila cada vez que eliminemos una cara. \u00bfCu\u00e1l?: dar la vuelta a las monedas colindantes de la misma fila. Hagamos un ejemplo que nos lo ilustre. Para una mejor visualizaci\u00f3n marquemos nuestra mesa:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-5035\" src=\"http:\/\/pimedios.es\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/monedas2.png\" alt=\"monedas2\" width=\"588\" height=\"303\" srcset=\"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/monedas2.png 960w, https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/monedas2-300x155.png 300w, https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/monedas2-768x396.png 768w\" sizes=\"auto, (max-width: 588px) 100vw, 588px\" \/><\/p>\n<p>El jugar novato elegir\u00eda la 3 fila para jugar porque s\u00f3lo tiene 4 monedas, y, aparentemente, ser\u00e1 la m\u00e1s sencilla de vaciar.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-5036\" src=\"http:\/\/pimedios.es\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/monedas3.png\" alt=\"monedas3\" width=\"552\" height=\"146\" srcset=\"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/monedas3.png 552w, https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/monedas3-300x79.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 552px) 100vw, 552px\" \/><\/p>\n<p>Empezamos con la cara de la primera columna. Al ser cara podemos eliminar la moneda, pero debemos darle la vuelta a su colindante, en este caso s\u00f3lo la moneda situada en la columna 2(c2). Se nos quedar\u00eda as\u00ed:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-5037\" src=\"http:\/\/pimedios.es\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/monedas4.png\" alt=\"monedas4\" width=\"550\" height=\"149\" srcset=\"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/monedas4.png 550w, https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/monedas4-300x81.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 550px) 100vw, 550px\" \/><\/p>\n<p>Siguiente movimiento. Buscamos otra cara y la eliminamos, d\u00e1ndole la vuelta a la de al lado; por ejemplo la columna 4(c4).<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-5038\" src=\"http:\/\/pimedios.es\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/monedas5.png\" alt=\"monedas5\" width=\"552\" height=\"169\" srcset=\"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/monedas5.png 552w, https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/monedas5-300x92.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 552px) 100vw, 552px\" \/><\/p>\n<p>Ya vislumbramos que elijamos la que elijamos su retirada har\u00e1 que la otra de la vuelta y quede cruz:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-5039\" src=\"http:\/\/pimedios.es\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/monedas6.png\" alt=\"monedas6\" width=\"551\" height=\"149\" srcset=\"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/monedas6.png 551w, https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/monedas6-300x81.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 551px) 100vw, 551px\" \/><\/p>\n<p>El resultado es que no podemos eliminar la moneda restante, y, por tanto, no habremos resuelto satisfactoriamente \u00a0nuestro solitario.<\/p>\n<p>Sigamos jugando, porque la fila a elegir es arbitraria, por ejemplo la \u00faltima fila.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-5040\" src=\"http:\/\/pimedios.es\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/monedas7.png\" alt=\"monedas7\" width=\"627\" height=\"105\" srcset=\"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/monedas7.png 914w, https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/monedas7-300x50.png 300w, https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/monedas7-768x129.png 768w\" sizes=\"auto, (max-width: 627px) 100vw, 627px\" \/><\/p>\n<p>Movamos r\u00e1pido: eliminamos la c6 y damos las vueltas a sus colindantes, c5 y c7:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-5042\" src=\"http:\/\/pimedios.es\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/monedas8.png\" alt=\"monedas8\" width=\"627\" height=\"105\" srcset=\"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/monedas8.png 919w, https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/monedas8-300x50.png 300w, https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/monedas8-768x129.png 768w\" sizes=\"auto, (max-width: 627px) 100vw, 627px\" \/><\/p>\n<p>La c7 queda sola, podemos eliminarla como la c5 d\u00e1ndole la vuelta a la c4:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-5043\" src=\"http:\/\/pimedios.es\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/monedas9.png\" alt=\"monedas9\" width=\"627\" height=\"105\" srcset=\"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/monedas9-300x50.png 300w, https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/monedas9-768x127.png 768w\" sizes=\"auto, (max-width: 627px) 100vw, 627px\" \/><\/p>\n<p>Ahora un movimiento audaz: eliminamos la c2 y cambiamos c1 y c3.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-5044\" src=\"http:\/\/pimedios.es\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/monedas10.png\" alt=\"monedas10\" width=\"915\" height=\"152\" srcset=\"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/monedas10.png 915w, https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/monedas10-300x50.png 300w, https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/monedas10-768x128.png 768w\" sizes=\"auto, (max-width: 915px) 100vw, 915px\" \/><\/p>\n<p>Y el siguiente paso salta a la vista del jugador avezado: eliminamos c1 por ser cara y c4, y cambiamos c3, apareciendo una cara en c3 <em>solita<\/em> en la fila y lista para ser eliminada en el siguiente movimiento. Final. Listo. Hemos conseguido dejar la fila a cero. Terminamos nuestro solitario satisfactoriamente.<\/p>\n<p>Fij\u00e9monos que, en el movimiento audaz eliminamos c2, de elegir la cara de c3 para eliminar, dar\u00edan la vuelta las caras contiguas, resultando tres monedas c1, c2 y c4\u00a0donde se ve s\u00f3lo la cruz, las \u00fanicas monedas presentes en la fila, y no podr\u00edamos eliminar ninguna m\u00e1s. Consecuencia: la fila no se podr\u00eda vaciar.<\/p>\n<p>Ahora le toca a la mente matem\u00e1tica: \u00bfCu\u00e1ndo podremos encontrar una soluci\u00f3n a nuestro problema? \u00bfExiste para cualquier fila que escojamos? \u00bfTenemos un algoritmo que nos lleve a la soluci\u00f3n? En tal caso, \u00bfbajo que condiciones? Como le\u00e9is, los matem\u00e1ticos somos gente dada a calentarnos la cabeza. La cuesti\u00f3n es que algunas de las preguntas podemos darle soluci\u00f3n matem\u00e1tica, y ese es el problema que os traslado. Concretemos; por ejemplo, \u00bfcu\u00e1ndo la fila elegida ser\u00e1 factible\u00a0vaciarla? Y recordad, no basta con enunciar \u00a0una conjetura, hay que probarla.<\/p>\n<blockquote class=\"tr_bq\"><p>Esta entrada participa en la <a href=\"http:\/\/eliatron.blogspot.com\/2017\/02\/carnamat81.html\">Edici\u00f3n 8.1 del <b>Carnaval de Matem\u00e1ticas<\/b><\/a> cuyo anfitri\u00f3n es <a href=\"http:\/\/eliatron.blogspot.com\/\">Tito Eliatron Dixit<\/a>.<\/p><\/blockquote>\n<p>Nota: La pista est\u00e1 en el t\u00edtulo.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Juego de monedas en el que aplicamos la inducci\u00f3n matem\u00e1tica para demostrar su soluci\u00f3n.<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[8],"tags":[578,717],"class_list":["post-5030","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-ocio","tag-induccion","tag-juego","entry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/5030","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=5030"}],"version-history":[{"count":6,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/5030\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5047,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/5030\/revisions\/5047"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=5030"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=5030"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=5030"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}