{"id":5051,"date":"2017-02-28T16:55:49","date_gmt":"2017-02-28T14:55:49","guid":{"rendered":"http:\/\/pimedios.es\/?p=5051"},"modified":"2017-02-28T17:03:56","modified_gmt":"2017-02-28T15:03:56","slug":"como-resolver-un-juego-de-monedas-con-induccion-matematica-ii","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/?p=5051","title":{"rendered":"C\u00f3mo resolver un juego de monedas con inducci\u00f3n matem\u00e1tica (II)"},"content":{"rendered":"<p>Lleg\u00f3 la hora de dar la soluci\u00f3n al problema planteado en\u00a0<a title=\"Permalink to C\u00f3mo resolver un juego de monedas con inducci\u00f3n matem\u00e1tica (I)\" href=\"http:\/\/pimedios.es\/2017\/02\/22\/como-resolver-un-juego-de-monedas-con-induccion-matematica-i\/\" rel=\"bookmark\">C\u00f3mo resolver un juego de monedas con inducci\u00f3n matem\u00e1tica (I)<\/a>. Como muchos habr\u00e9is intuido, necesitamos un n\u00famero impar de caras en una fila, para que esta pueda vaciarse por completo. La cuesti\u00f3n es c\u00f3mo demostramos que esta afirmaci\u00f3n es cierta. Aqu\u00ed es donde entra en juego la inducci\u00f3n matem\u00e1tica.<br \/>\n<iframe loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/FJrd7Jdtch8\" width=\"560\" height=\"315\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><br \/>\nYa sabemos que necesitamos una proposici\u00f3n, que dependa de un entero positivo:<\/p>\n<blockquote><p>P(n): \u00abToda fila de n monedas con un n\u00famero impar de caras es vaciable\u00bb<\/p><\/blockquote>\n<p>En este caso utilizaremos el Principio de inducci\u00f3n fuerte.<\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/M1RI1NQ-4mk\" width=\"560\" height=\"315\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<p>Obviamente (esta palabra nunca les gusta a los alumnos) P(1) se cumple; pues si la fila s\u00f3lo contiene una moneda, la podremos eliminar s\u00f3lo si es cara. Ahora consideremos una fila de $k&gt;1$ monedas, donde suponemos que para toda fila de longitud menor o igual que $k$ la podemos vaciar si tiene un n\u00famero impar de caras. Veamos que ocurre cuando tengamos $k+1$ monedas en nuestra fila.<\/p>\n<p>Supongamos que nuestra fila de\u00a0$k+1$ monedas tiene un n\u00famero impar de caras. Entonces elegimos la primera cara presente de izquierda a derecha. Puede darse dos casos. Que la primera cara sea la primera moneda(1) o que no(2).<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">(1)C*** \u00f3 (2)+***C***<\/p>\n<p>Si es la primera moneda, caso (1), al eliminarla y darle la vuelta a la contigua suceder\u00e1 que esta es cara o cruz.<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">(1)C***-&gt; (1)C** \u00f3 (2)+**<\/p>\n<p>Si es cara repetimos el proceso hasta vaciar la fila o que aparezca una cruz, y en tal caso, continuar\u00edamos como \u00a0en el caso (2).<\/p>\n<p>Resulta que nuestra cara no es la primera moneda, caso (2).<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">******C******<\/p>\n<p>Al eliminarla volteamos las contiguas y tendremos dos nuevas filas, resultado de la eliminaci\u00f3n de la cara.<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\u00ab*****C\u00bb y \u00ab{C \u00f3 +}*****\u00bb<\/p>\n<p>Las dos nuevas filas en las que se ha troceado la fila original, tienen una cantidad menor que $k$ de monedas. Y resulta que las dos nuevas filas tienen una cantidad impar de monedas. La primera subfila, la que resulta a la izquierda de la cara eliminada, porque s\u00f3lo tendr\u00e1 la cara que acabamos de sacar al darle la vuelta a la cruz contigua a la cara eliminada. Del mismo modo, la segunda subfila, la situada a la derecha, porque el n\u00famero impar de caras se mantiene al darle la vuelta a la contigua a la eliminada. Expliquemos esto.<\/p>\n<p>Si\u00a0\u00ab{C \u00f3 +}*****\u00bb resulta\u00a0\u00abC*****\u00bb, entonces la cara eliminada reaparece manteniendo el mismo n\u00famero de caras impar que hab\u00edan antes de la eliminaci\u00f3n.<\/p>\n<p>Si\u00a0\u00ab{C \u00f3 +}*****\u00bb resulta\u00a0\u00ab+*****\u00bb, entonces la eliminaci\u00f3n de la cara a provocado que la cara contigua pase a cruz, con lo cual restamos dos caras del computo inicial de caras, antes de la eliminaci\u00f3n. Si al n\u00famero impar de caras le restamos dos, seguiremos teniendo un n\u00famero impar de caras.<\/p>\n<p>Por la hip\u00f3tesis de inducci\u00f3n, las dos nuevas subfilas, como tienen un n\u00famero impar de caras, podr\u00e1n ser vaciables completamente. Por tanto, habremos vaciado toda la fila y quedar\u00e1 probado para la fila con $k+1$ monedas. Hemos concluido el paso de la inducci\u00f3n que nos lleva a justificar que es v\u00e1lido para toda fila de n monedas con un n\u00famero de ellas mostrando la cara.<\/p>\n<p>Con lo dicho, necesitamos \u00a0un n\u00famero impar de caras; es decir, si la fila tiene un n\u00famero impar de caras, seguro que la podremos \u00a0vaciar. Pero, \u00bfpuede vaciarse en alg\u00fan caso de que tenga un n\u00famero par? En el ejemplo de la primera entrada vimos un caso de un n\u00famero par de caras que no ten\u00eda soluci\u00f3n. \u00bfPodemos afirmar que cualquier fila con un n\u00famero par de caras no ser\u00e1 vaciable? Ya tenemos otro problema planteado. Se atreven.<\/p>\n<blockquote><p>Esta entrada participa en la <a href=\"http:\/\/eliatron.blogspot.com\/2017\/02\/carnamat81.html\">Edici\u00f3n 8.1 del <b>Carnaval de Matem\u00e1ticas<\/b><\/a> cuyo anfitri\u00f3n es <a href=\"http:\/\/eliatron.blogspot.com\/\">Tito Eliatron Dixit<\/a>.<\/p><\/blockquote>\n<p>&nbsp;<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>La inducci\u00f3n matem\u00e1tica como m\u00e9todo para resolver un juego con monedas.<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[8],"tags":[578,717],"class_list":["post-5051","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-ocio","tag-induccion","tag-juego","entry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/5051","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=5051"}],"version-history":[{"count":6,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/5051\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5057,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/5051\/revisions\/5057"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=5051"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=5051"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=5051"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}