{"id":5122,"date":"2018-08-05T13:05:07","date_gmt":"2018-08-05T11:05:07","guid":{"rendered":"http:\/\/pimedios.es\/?p=5122"},"modified":"2018-08-05T13:18:38","modified_gmt":"2018-08-05T11:18:38","slug":"euler-contra-diderot","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/?p=5122","title":{"rendered":"Euler contra Diderot"},"content":{"rendered":"

El pasado 28 de julio, apareci\u00f3 una entrada de Carlo Frabetti en la secci\u00f3n El Juego de La Ciencia del diario El Pa\u00eds, que rezaba el mismo t\u00edtulo: Euler contra Diderot<\/a>. Su lectura es muy instructiva y me llam\u00f3 la atenci\u00f3n el problema que nos deja a los lectores. en determinado momento nos cuenta que Euler le dijo a Diderot:\u00a0\u201cMi mujer escribi\u00f3 un n\u00famero entero de menos de treinta cifras terminado en 2; yo borr\u00e9 el 2 del final y lo puse al principio, y el n\u00famero resultante era el doble del que hab\u00eda escrito mi mujer. \u00bfQu\u00e9 n\u00famero escribi\u00f3?\u201d.<\/em> Ah\u00ed arranca un interesante problema de la teor\u00eda de n\u00fameros. Independientemente de la originalidad o certeza de este reto, nos plantea un problema que podemos resolver con la herramientas de una teor\u00eda de n\u00fameros b\u00e1sica. Ve\u00e1moslo.<\/p>\n

Consideremos que el n\u00famero que buscamos es $x$. Si lo expresamos en base decimal, ser\u00e1: $$d_n10^n +d_{n-1}10^{n-1}+\\ldots+d_110+d_0=x.$$ El enunciado del problema nos dice que $d_0=2$, en consecuencia $x$ es par y se puede poner como $x=2y$. Adem\u00e1s, por el enunciado, colocando el 2 en primer lugar (recordemos que seguimos teniendo las mismas $n+1$ cifras), resultar\u00e1 el doble del primero; es decir, $$2\\cdot 10^n +d_{n}10^{n-1}+d_{n-1}10^{n-2}+\\cdot+d_210+d_1=2x=4y (1)$$<\/p>\n

Precisamente el hecho de que las cifras sean las mismas, salvo el orden, juega a nuestro favor. Por la propiedad de la divisibilidad del 3 y las congruencias $$2y=d_n10^n +d_{n-1}10^{n-1}+\\ldots+d_110+2\\equiv [d_n+d_{n-1}+\\ldots+d_1+2](mod\\, 3)$$ y $$4y=2\\,10^n +d_{n}10^{n-1}+d_{n-1}*10^{n-2}+\\ldots+d_210+d_1\\equiv [2+d_n+d_{n-1}+…+d_1](mod\\, 3).$$ Observemos que ambos\u00a0t\u00e9rminos de la congruencia son el mismo sumando $[d_n+d_{n-1}+\\ldots+d_1+2]$, en consecuencia, $$2y\\equiv 0(mod\\, 3).$$<\/p>\n

Ya tenemos la primera pista del n\u00famero que buscamos: es un m\u00faltiplo de 6 que termina en 2.<\/p>\n

Esta linea se puede continuar, aunque nos lleva a un camino peligroso. Me explico. Si consideramos el enunciado, $$2\\,10^n +d_{n}10^{n-1}+d_{n-1}*10^{n-2}+\\ldots+d_210+d_1=2(d_n10^n +d_{n-1}10^{n-1}+\\ldots+d_110+2).$$<\/p>\n

Si restamos nos dar\u00e1: $$(2-2d_{n})\\,10^n +(d_{n}-2d_{n-1})10^{n-1}+\\ldots+(d_2-2d_1)10+(d_1-2d_0)=0$$<\/p>\n

Lo que nos permite aventurar que nuestro n\u00famero termina en 42, a\u00fan dir\u00eda m\u00e1s, en 842, resultado que nos lo ense\u00f1a la sucesi\u00f3n de diferencias: $d_1-2d_0=0;d_2-2d_1=0$. Sin embargo, debemos llevarnos cuidado, puesto que los n\u00fameros $d_i$ son d\u00edgitos entre 0 y 9, y en la siguiente,\u00a0 $d_3-2d_2=0$, nos crea un problema un poco m\u00e1s dif\u00edcil de entender, que lo utilizado hasta ahora. Dejemos esta l\u00ednea, para afrontar otra m\u00e1s productiva y con la misma facilidad de entender. No sin antes, mostrar que si miramos al final de la recursi\u00f3n nos llevar\u00eda a $2-2d_{n}=0$, que nos indica que $d_n=1$ y, a\u00fan m\u00e1s, $d_{n-1}=0$. As\u00ed que esta l\u00ednea nos da la pista de que el n\u00famero que buscamos es de la forma: $$10\\cdots\\cdots\\cdots\\cdots 842.$$ Curioso, \u00bfverdad? No sabemos la cantidad de cifras, solo que es menor de 30 (por el enunciado).<\/p>\n

Hasta aqu\u00ed, a mis alumnos de Inform\u00e1tica les sugiero que afronten el problema con una soluci\u00f3n a fuerza bruta. Si utilizamos R y la librer\u00eda de grandes enteros gmp<\/em>, \u00fanicamente necesitamos un procedimiento de fuerza bruta que busque m\u00faltiplos de 6 que empiecen por 10 y terminen por 842, menores de 30 d\u00edgitos. Un problema finito.<\/p>\n

Pero Euler no dispon\u00eda de ordenador (salvo que su celebro fuese uno), con lo cual tenemos que seguir probando con la teor\u00eda de n\u00fameros, o en este caso un sencillo proceso de aritm\u00e9tica.\u00a0 Sabemos (algoritmo de la divisi\u00f3n) que cualquier entero positivo, y nuestro $x$ en particular, que termine en 2 se puede escribir como: $x=10q+2.$ El enunciado no dice que el doble termina en el pen\u00faltimo d\u00edgito de $x$, luego $$x=10q+2\\to 2x=2(10q+2)$$ Pero tambi\u00e9n, $$2x=2\\cdot 10^{n}+q.$$<\/p>\n

Veamos esto con un ejemplo. Supongamos el n\u00famero $456872$, si quitamos el \u00faltimo 2 y lo pasamos al principio tendremos el $245687$. $456872=10 \\cdot 45687+2$ y\u00a0$245687=2 \\cdot 10^{6}+45687$. En nuestro caso el equivalente a $q$ es $45687$.<\/p>\n

Por tanto, de $2x=2(10q+2)$ y\u00a0$2x=2\\cdot 10^{n}+q$, obtenemos que $$20q+4=2\\cdot 10^{n}+q$$ lo que nos lleva a $$2(10^n-2)=19q$$<\/p>\n

Lo hemos escrito as\u00ed para poder utilizar las propiedades de los n\u00fameros primos. En la ecuaci\u00f3n diof\u00e1ntica que tratamos de resolver (como sabemos que tiene soluci\u00f3n), es necesario que $19$ divida a $(10^n-2)$, por ser $19$ primo. As\u00ed que buscamos un n\u00famero divisible por $19$ de la forma\u00a0$(10^n-2)$. Esto es un problema de restos potenciales, estamos buscando resolver la ecuaci\u00f3n $$10^a\\equiv 2(mod\\, 19).$$<\/p>\n

De nuevo podemos utilizar R para obtener que el n\u00famero $a$ que buscamos es $17$;\u00a0$$10^{17}\\equiv 2(mod\\, 19).$$<\/p>\n

En realidad,\u00a0$$10^{17m}\\equiv 2(mod\\, 19),$$ para cualquier natural $m$ valdr\u00eda, pero el enunciado nos dice que el n\u00famero en cuesti\u00f3n es menor de 30 dig\u00edtos, y\u00a0$10^{17\\cdot 2}$ supera los treinta. Por tanto la ecuaci\u00f3n\u00a0$$2(10^n-2)=19q$$ queda como\u00a0$$2(10^{17}-2)=19q,$$ es $$2\\cdot 99999999999999998=19q.$$<\/p>\n

Dividiendo por 19 y multiplicando por 2, tendremos $$q=10526315789473684.$$ Pero recordad que el n\u00famero que buscamos es $x=10q+2$, por tanto $$x=10q+2=105263157894736842.$$ Y ya est\u00e1. Bonito n\u00famero, \u00bfverdad? Observar que cumple las primeras propiedades que observamos: comienza por 10 y termina por 842, adem\u00e1s de ser divisible por 6.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Resolvemos un problema que aparece el la entrada Euler contra Diferot de Carlo Frabetti en la secci\u00f3n El Juego de La Ciencia del diario El Pa\u00eds<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[8],"tags":[],"class_list":["post-5122","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-ocio","entry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/5122","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=5122"}],"version-history":[{"count":13,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/5122\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5135,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/5122\/revisions\/5135"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=5122"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=5122"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=5122"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}