{"id":56,"date":"2009-10-16T00:03:32","date_gmt":"2009-10-15T22:03:32","guid":{"rendered":"http:\/\/matematicas.jesussoto.es\/?p=56"},"modified":"2009-10-16T00:03:32","modified_gmt":"2009-10-15T22:03:32","slug":"historia-del-cero","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/?p=56","title":{"rendered":"Historia del Cero"},"content":{"rendered":"

\"DSC05665_1080w<\/a>Hace tiempo, Manuel Herm\u00e1n Capit\u00e1n creador de cienciakanija, tradujo para astroseti, el art\u00edculo sobre la historia del cero que publica MacTutor en ingl\u00e9s, os lo dejo, es ideal para este blog.<\/p>\n

Historia del cero<\/h3>\n

Una de las preguntas m\u00e1s comunes que los lectores de este archivo hacen es: \u00bfQui\u00e9n descubri\u00f3 el cero? \u00bfPor qu\u00e9 entonces no hemos escribo un art\u00edculo como este en los inicios del archivo? La raz\u00f3n es, b\u00e1sicamente, debido a la dificultad de contestar a la pregunta de una forma satisfactoria. Si alguien tuvo por primera vez la idea del cero, la cual todo el mundo vio como una brillante innovaci\u00f3n a introducir en las matem\u00e1ticas a partir de ese momento, la pregunta tendr\u00eda una respuesta satisfactoria incluso si no conoci\u00e9semos el genio que lo invent\u00f3. Los registros hist\u00f3ricos, sin embargo, muestran unas v\u00edas bastante distintas hacia dicho concepto. El cero hace apariciones fantasmales solo para desvanecerse de nuevo casi como si un matem\u00e1tico estuviese busc\u00e1ndolo pero no reconociese su significado fundamental incluso a\u00fan vi\u00e9ndolo.<\/p>\n

Lo primero que hay que decir sobre el cero es que hay dos usos para el cero, ambos extremadamente importantes, pero algo distintos. Un uso es como indicador de lugar vac\u00edo en nuestro sistema num\u00e9rico de valor por posici\u00f3n. As\u00ed pues, en un n\u00famero como 2106, el cero es usado para que las posiciones del 2 y del 1 sean correctas. Claramente 216 significa algo bastante distinto. El segundo uso del cero es como un n\u00famero en s\u00ed mismo, en la forma que lo usamos como 0. Hay tambi\u00e9n otros aspectos distintos del cero en estos dos usos, a saber, el concepto, la notaci\u00f3n y el nombre. (Nuestro nombre \u201ccero\u201d deriva del \u00e1rabe sifr el cual tambi\u00e9n nos da la palabra ‘cifra’.)<\/p>\n

Ninguno de los usos de arriba tienen una f\u00e1cil descripci\u00f3n hist\u00f3rica. No sucedi\u00f3 que alguien invent\u00f3 las ideas y entonces todo el mundo comenz\u00f3 a usarlos. Tambi\u00e9n es justo decir que el n\u00famero cero est\u00e1 lejos de ser un concepto intuitivo. Los problemas matem\u00e1ticos comenzaron como problemas \u201creales\u201d m\u00e1s que como problemas abstractos. Los n\u00fameros en los primeros momentos de la historia eran concebidos de una forma mucho m\u00e1s concreta que los abstractos conceptos que son nuestros n\u00fameros de hoy. Hay un salto mental gigantesco de 5 caballos a 5 \u201ccosas\u201d y de ah\u00ed a la idea abstracta de \u201ccinco\u201d. Si los antiguos resolv\u00edan un problema sobre cu\u00e1ntos caballos necesitaba un granjero el problema no iba a tener un resultado de 0 o -23 como respuesta.<\/p>\n

Se podr\u00eda pensar que una vez que aparece un sistema num\u00e9rico de valor por posici\u00f3n entonces el 0 como indicador de posici\u00f3n vac\u00eda es una idea necesaria, aunque los babilonios tuvieron un sistema num\u00e9rico de valor por posici\u00f3n sin esta caracter\u00edstica durante 1000 a\u00f1os. Adem\u00e1s no hay ninguna evidencia de que los babilonios sintiesen que hab\u00eda alg\u00fan problema con la ambig\u00fcedad que exist\u00eda. Extraordinariamente, sobrevivieron textos originales de la \u00e9poca de los matem\u00e1ticos babilonios. Los babilonios escrib\u00edan en tablas de arcilla sin cocer, usando escritura cuneiforme. Los s\u00edmbolos se escrib\u00edan en las tablas de arcilla blanda con el afilado \u00e1ngulo de una aguja y por esto tienen una forma de cu\u00f1a (de aqu\u00ed el nombre de cuneiforme). Sobreviven muchas tablas de alrededor del a\u00f1o 1700 a. C. y podemos leer los textos originales. Por supuesto su notaci\u00f3n num\u00e9rica era bastante distinta de la nuestra (y no en base 10 sino en base 60) pero la traducci\u00f3n a nuestro sistema de notaci\u00f3n no distinguir\u00eda entre el 2106 y el 216 (el contexto tendr\u00eda que mostrar a qu\u00e9 nos referimos). No fue hasta alrededor del 400 a. C. que los babilonios colocaron dos s\u00edmbolos de cu\u00f1a en el lugar d\u00f3nde pondr\u00edamos nuestro cero para indicar si significa 216 o 21\u201d6.<\/p>\n

Las dos cu\u00f1as no fue la \u00fanica notaci\u00f3n que usaron; de hecho, en una tabla encontrada en Kish, una antigua ciudad de Mesopotamia situada al Este de Babilonia en lo que hoy ser\u00eda la parte centro-sur de Irak, se us\u00f3 una notaci\u00f3n distinta. Esta tabla, que se piensa que data del 700 a. C., usa tres ganchos para denotar un espacio vac\u00edo en la notaci\u00f3n posicional. Otras tablas que datan m\u00e1s o menos de la misma \u00e9poca usan un solo gancho para un lugar vac\u00edo. Esta es una caracter\u00edstica com\u00fan para este de uso diferentes marcas para denotar una posici\u00f3n vac\u00eda. Es un hecho que nunca tuvo lugar al final de los d\u00edgitos sino siempre entre dos de ellos. Por lo que, aunque encontramos 21\u201d6, nunca encontramos 216\u201d. Se debe suponer que los antiguos sent\u00edan que el contexto era suficiente para indicar lo que se pretend\u00eda a\u00fan en estos casos.<\/p>\n

Si la referencia al contexto te parece absurda, entonces es necesario hacer notar que nosotros a\u00fan usamos el contexto para interpretar los n\u00fameros hoy. Si tomas el autob\u00fas a una ciudad cercana y preguntas cu\u00e1nto cuesta, si la respuesta es ‘Son tres cincuenta’ significa 3 libras y cincuenta peniques. Si la misma respuesta se da para una pregunta sobre el precio de un vuelo de Edimburgo a Nueva York entonces s\u00e9 que lo que se intenta decir son trescientas cincuenta libras.<\/p>\n

Podemos ver de esto que el primer uso del cero para denotar un espacio vac\u00edo no es en realidad un uso del cero como n\u00famero despu\u00e9s de todo, sino meramente el uso de alg\u00fan tipo de signo de puntuaci\u00f3n para que los n\u00fameros tengan una interpretaci\u00f3n correcta.<\/p>\n

Los antiguos griegos comenzaron sus contribuciones a las matem\u00e1ticas sobre la \u00e9poca en la que el cero como indicador de posici\u00f3n vac\u00eda empezaba a usarse por los matem\u00e1ticos babilonios. Los griegos sin embargo no adoptaron un sistema num\u00e9rico posicional. Merece la pena pensar lo significativo que es este hecho. \u00bfC\u00f3mo pod\u00edan con los brillantes avances matem\u00e1ticos de los griegos no verlos adoptar un sistema num\u00e9rico con las ventajas del sistema de valor por posici\u00f3n que pose\u00edan los babilonios? La verdadera respuesta a esta pregunta es m\u00e1s sutil que la simple respuesta que vamos a dar, pero b\u00e1sicamente los logros matem\u00e1ticos griegos estaban basados en la geometr\u00eda. Aunque el Elementos de Euclides conten\u00eda un libro sobre Teor\u00eda Num\u00e9rica, este estaba basado en la geometr\u00eda. En otras palabras, los matem\u00e1ticos griegos no necesitaban nombrar los n\u00fameros dado que trabajaban con n\u00fameros como longitudes de una l\u00ednea. Los n\u00fameros que requer\u00edan ser nombrados eran usados por los mercaderes, no los matem\u00e1ticos, y de aqu\u00ed que no necesitasen una notaci\u00f3n clara.<\/p>\n

Aunque existieron excepciones a lo que hemos afirmado. Las excepciones fueron los matem\u00e1ticos que estaban involucrados en el registro de datos astron\u00f3micos. Aqu\u00ed encontramos el primer uso del s\u00edmbolo que hoy reconocemos para el cero, los astr\u00f3nomos griegos comenzaron a usar el s\u00edmbolo O. Hay muchas teor\u00edas acerca de por qu\u00e9 se us\u00f3 este s\u00edmbolo en particular. Algunos historiadores est\u00e1n a favor de la explicaci\u00f3n de que es omicr\u00f3n, la primera letra de la palabra griega para nada, es decir \u201couden\u201d. Neugebauer, sin embargo, descarta esta explicaci\u00f3n dado que los griegos ya usaban omicr\u00f3n como un n\u00famero \u2013 representaba el 70 (el sistema num\u00e9rico de los griegos estaba basado en su alfabeto). Otra explicaci\u00f3n ofrecida incluye el hecho de que significa \u201cobol\u201d, una moneda sin casi valor, y que surge cuando se usaban fichas para contar en una tabla de arena. La sugerencia aqu\u00ed es que cuando se eliminaba una ficha para dejar una columna vac\u00eda el hueco en la arena parec\u00eda un O.<\/p>\n

Ptolomeo en el Almagest, escrito alrededor del 130 D.C., us\u00f3 el sistema babilonico sexagesimal junto con el par\u00e1metro de vac\u00edo O. En esta \u00e9poca Ptolomeo usaba el s\u00edmbolo tanto entre d\u00edgitos como al final del n\u00famero y uno estar\u00eda tentado a creer que al menos el cero como par\u00e1metro vac\u00edo se hab\u00eda establecido con firmeza. Esto, sin embargo, est\u00e1 lejos de lo que sucedi\u00f3. Solo unos pocos astr\u00f3nomos excepcionales usaron la notaci\u00f3n y cayeron en desuso varias veces antes de establecerse finalmente. La idea del lugar cero (ciertamente no concebido como un n\u00famero por Ptolomeo quien a\u00fan lo consideraba un signo de puntuaci\u00f3n) hace su siguiente aparici\u00f3n entre los matem\u00e1ticos indios.<\/p>\n

La escena ahora se mueve a la India donde es junto decir que nacieron los n\u00fameros y los sistemas num\u00e9ricos, los cuales evolucionaron en los sistemas altamente sofisticados que usamos hoy. Por supuesto, no hace falta decir que el sistema indio deb\u00eda algo a los sistemas previos y muchos de los historiadores de las matem\u00e1ticas creen que el uso indio del cero evolucion\u00f3 del usado por los astr\u00f3nomos griegos. As\u00ed como algunos historiadores parecen querer quitar importancia a la contribuci\u00f3n de los indios de una forma poco razonable, hay tambi\u00e9n quienes afirman que los indios inventaron el cero, lo que me parece ir demasiado lejos. Por ejemplo Mukherjee en [6] afirma:-<\/p>\n

… el concepto matem\u00e1tico del cero … estaba presente tambi\u00e9n en la forma espiritual desde hace 17 000 a\u00f1os en la India.<\/em><\/p>\n

Lo cierto es que alrededor del a\u00f1o 650 d. C. el uso del cero entr\u00f3 en la matem\u00e1tica india. Los indios usaron tambi\u00e9n un sistema de valor por posici\u00f3n y el cero se usaba para denotar un lugar vac\u00edo. De hecho, hay evidencias de un par\u00e1metro de lugar vac\u00edo en n\u00fameros posicionales desde tan pronto como el 200 d. C. en la India pero algunos historiadores rechazan estas como falsificaciones posteriores. Vamos a examinar este \u00faltimo uso primero ya que a partir de aqu\u00ed continua el desarrollo descrito arriba.<\/p>\n

Alrededor del 500 d. C. Aryabhata ide\u00f3 un sistema num\u00e9rico que no ten\u00eda a\u00fan el cero y que era un sistema posicional. Us\u00f3 la palabra ‘kha’ para la posici\u00f3n y ser\u00eda usado m\u00e1s tarde como nombre para el cero. Hay pruebas de que se hab\u00eda usado el punto en los primeros manuscritos indios para denotar un espacio vac\u00edo en la notaci\u00f3n posicional. Es interesante que los mismo documentos a veces tambi\u00e9n usan un punto para denotar algo desconocido donde nosotros usar\u00edamos x. Posteriores matem\u00e1ticos indios han nombrado el cero en n\u00fameros posicionales pero a\u00fan no ten\u00edan un s\u00edmbolo para el mismo. El primero registro del uso indio del cero datado y sobre el que todos est\u00e1n de acuerdo en que es genuino fue escrito en el a\u00f1o 876.<\/p>\n

Tenemos una inscripci\u00f3n en una tabla de piedra la cual contiene una fecha que se traduce por 876. La inscripci\u00f3n concierne a la ciudad de Gwalior, 400 km al Sur de Delhi, donde se plantaron unos jardines de 187 por 270 hastas* el cual podr\u00eda producir suficientes flores para permitir que se dieran 50 guirnaldas al d\u00eda a los empleados del templo local. Ambos n\u00fameros, 270 y 50 est\u00e1n anotados casi como los de hoy aunque el 0 es menor y ligeramente elevado.<\/p>\n

Podemos considerar ahora la primera aparici\u00f3n del cero como n\u00famero. D\u00e9janos primero apuntar que este no es un candidato natural para n\u00famero en cierto sentido. Desde los inicios, los n\u00fameros son palabras para referirnos a colecciones de objetos. Ciertamente la idea de n\u00famero se convierte en m\u00e1s y m\u00e1s abstracta y esta abstracci\u00f3n hace posible la consideraci\u00f3n del cero y de los n\u00fameros negativos, los cuales no hab\u00edan surgido como propiedades de las colecciones de objetos. Por supuesto el problema que surge cuando se intenta considerar el cero y los n\u00fameros negativos es c\u00f3mo interact\u00faan respecto a las operaciones aritm\u00e9ticas (suma, resta, multiplicaci\u00f3n y divisi\u00f3n). En tres importantes libros, los matem\u00e1ticos indios Brahmagupta, Mahavira y Bhaskara intentaron dar respuesta a estas preguntas.<\/p>\n

Brahmagupta intent\u00f3 dar las reglas para la aritm\u00e9tica teniendo en cuenta el cero y los n\u00fameros negativos en el siglo s\u00e9ptimo. Explic\u00f3 que, dado un n\u00famero, si lo restas a s\u00ed mismo obtienes el cero. Dio las siguientes reglas para la suma que implicaban al cero:-<\/p>\n

La suma de cero y un n\u00famero negativo, es negativo, la suma de un n\u00famero positivo y cero es positivo, la suma de cero y cero es cero.<\/em><\/p>\n

La resta es un poco m\u00e1s compleja:-<\/p>\n

Un n\u00famero negativo restado de cero es positivo, un n\u00famero positivo restado de cero es negativo, cero restado de un n\u00famero negativo es negativo, cero restado de un n\u00famero positivo es positivo, cero restado de cero es cero.<\/em><\/p>\n

Brahmagupta entonces dice que cualquier n\u00famero multiplicado por cero es cero pero tiene una dificultad con la divisi\u00f3n:-<\/p>\n

Un n\u00famero positivo o negativo cuando es dividido por cero es una fracci\u00f3n con cero como denominador. Cero dividido por un n\u00famero positivo o negativo es o cero o expresado como fracci\u00f3n el cero como numerador y una cantidad finita como denominador. Cero dividido por cero es cero.<\/em><\/p>\n

En verdad Brahmagupta est\u00e1 diciendo muy poco cuando sugiere que n dividido por 0 es n\/0. Claramente tiene un problema con esto. Ciertamente est\u00e1 equivocado cuando afirma que cero dividido por cero es cero. Sin embargo es un intento brillante por parte de la primera persona que sabemos que intent\u00f3 extender la aritm\u00e9tica a los n\u00fameros negativos y el cero.<\/p>\n

En 830, alrededor de 200 a\u00f1os despu\u00e9s de que Brahmagupta escribiese su obra maestra, Mahavira escribi\u00f3 Ganita Sara Samgraha que fue dise\u00f1ado como una actualizaci\u00f3n del libro de Brahmagupta. Afirma correctamente que:<\/p>\n

– … un n\u00famero multiplicado por cero es cero, y un n\u00famero permanece igual si se le resta cero.<\/em><\/p>\n

Sin embargo sus intentos de mejorar las afirmaciones de Brahmagupta sobre la divisi\u00f3n por cero parecen llevarle al error. Escribe:-<\/p>\n

Un n\u00famero permanece sin cambio cuando es dividido por cero.<\/em><\/p>\n

Dado que esto es claramente incorrecto, mi uso de las palabras \u201cparecen llevarle al error\u201d podr\u00edan parecer confusas. La raz\u00f3n de esta frase es que algunos comentarios sobre Mahavira han intentado encontrar excusas para esta afirmaci\u00f3n incorrecta.<\/p>\n

Bhaskara escribi\u00f3 unos 500 a\u00f1os despu\u00e9s de Brahmagupta. A pesar del paso del tiempo a\u00fan sigue con problemas para explicar la divisi\u00f3n por cero. Escribe:-<\/p>\n

Una cantidad dividida por cero se convierte en una fracci\u00f3n cuyo denominador es igual a cero. Esta fracci\u00f3n tiene como valor una cantidad infinita. En esta cantidad en la cual cero es el divisor, no hay alteraci\u00f3n aunque se sumen o se resten muchos; as\u00ed como no tuvieron lugar cambios en el infinito e inmutable Dios cuando se crean o se destruyen los mundos, aunque numerosos \u00f3rdenes de seres sean absorbidos o creados.<\/em><\/p>\n

Por tanto, Bhaskara intent\u00f3 resolver el problema escribiendo que n\/0 = \u221e. A primera vista podr\u00edamos estar tentados a pensar que Bhaskara estaba en lo cierto, pero por supuesto no lo estaba. Si fuese cierto, entonces 0 veces \u221e debe ser igual a cada n\u00famero n, por tanto todos los n\u00famero son iguales. Los matem\u00e1ticos indios no pod\u00edan llegar al punto de admitir que no se puede dividir por cero. Bhaskara hizo otra afirmaci\u00f3n correcta sobre las propiedades del cero, no obstante, como que 02<\/sup> = 0 y que \u221a0 = 0.<\/p>\n

Tal vez deber\u00edamos hacer notar en este punto que hubo otra civilizaci\u00f3n que desarroll\u00f3 un sistema num\u00e9rico de valor por posici\u00f3n con el cero. Fueron los Mayas, que vivieron en Am\u00e9rica Central, ocupando el \u00e1rea que hoy es el Sur de M\u00e9xico, Guatemala, el norte de Belize y partes de Honduras y El Salvador. Esta fue una antigua civilizaci\u00f3n que floreci\u00f3 particularmente entre el 250 y 900. Sabemos que sobre el 665 usaron un sistema num\u00e9rico de valor por posici\u00f3n de base 20 con un s\u00edmbolo para el cero. Sin embargo, su uso del cero iba m\u00e1s all\u00e1 de esto y estaba en uso antes de que lo introdujesen en el sistema num\u00e9rico de valor por posici\u00f3n. Esto es un notable \u00e9xito pero desgraciadamente no influenci\u00f3 a otras culturas.<\/p>\n

El brillante trabajo de los matem\u00e1ticos indios fue transmitido a los matem\u00e1ticos \u00e1rabes e isl\u00e1micos del lejano occidente. Lleg\u00f3 una primera etapa donde al-Khwarizmi escribi\u00f3 Al’Khwarizmi en el arte Hind\u00fa del C\u00e1lculo en cual describe el sistema num\u00e9rico indio de valor por posici\u00f3n de cifras basado en 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, y 0. Este trabajo fue el primero en lo que ahora es Irak en usar el cero como marcador de posici\u00f3n en una notaci\u00f3n de base posicional. Ibn Ezra, en el siglo XII, escribi\u00f3 tres tratados sobre n\u00fameros que ayudaron a traer los s\u00edmbolos e ideas indias de las fracciones decimales a la atenci\u00f3n de algunos de los estudiantes europeos. El Libro de los N\u00fameros describe el sistema decimal para enteros con valores de posici\u00f3n de izquierda a derecha. En este trabajo ibn Ezra usa el cero, al que llama galgal (significa rueda o c\u00edrculo).<\/p>\n

Ligeramente m\u00e1s tarde, en el siglo XII, al-Samawal escribi\u00f3:-<\/p>\n

Si restamos un n\u00famero positivo de cero permanece el mismo n\u00famero negativo… si restamos un n\u00famero negativo de cero nos queda el mismo n\u00famero positivo.<\/em><\/p>\n

Las ideas ideas se dispersaron hacia el Este, a China, as\u00ed como al Oeste a los pa\u00edses isl\u00e1micos. En 1247 el matem\u00e1tico chino Ch’in Chiu-Shao escribi\u00f3 Tratado matem\u00e1tico en nueve secciones en el cual usa el s\u00edmbolo O para el cero. Un poco m\u00e1s tarde, en 1303, Zhu Shijie escribi\u00f3 El espejo de Jade de los cuatro elementos en el cual usa de nuevo el s\u00edmbolo O para el cero.<\/p>\n

Fibonacci fue una de las principales personas en traer estas nuevas ideas sobre sistemas num\u00e9ricos a Europa. Como los autores [12] escriben:-<\/p>\n

Un importante nexo entre el sistema num\u00e9rico Ar\u00e1bico-Hind\u00fa y el los matem\u00e1ticos europeos es el matem\u00e1tico italiano Fibonacci.<\/em><\/p>\n

En Liber Abaci describe los nueve s\u00edmbolos indios junto con el signo 0 para los europeos alrededor del a\u00f1o 1200 pero no fue usado ampliamente hasta bastante tiempo despu\u00e9s. Es significativo que Fibonacci no fue lo bastante audaz como para tratar el 0 de la misma forma que al resto de n\u00fameros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dado que habla de la \u201cmarca\u201d cero mientras que al resto de s\u00edmbolos los llama n\u00fameros. Aunque traer los n\u00fameros indios a Europa fue claramente de una gran importancia podemos ver en su tratamiento del cero que no alcanz\u00f3 la misma sofisticaci\u00f3n que los indios Brahmagupta, Mahavira y Bhaskara ni la de los matem\u00e1ticos \u00e1rabes e isl\u00e1micos como al-Samawal.<\/p>\n

Se podr\u00eda pensar que el progreso de los sistemas num\u00e9ricos en general, y del cero en particular, se habr\u00eda estancado desde ese momento. Sin embargo, nada m\u00e1s lejos de la realidad. Cardano resolvi\u00f3 ecuaciones c\u00fabicas y cu\u00e1rticas sin usar el cero. Habr\u00eda encontrado su trabajo mucho m\u00e1s sencillo en el 1500 si hubiese tenido el cero pero este no era parte de sus matem\u00e1ticas. En el a\u00f1o 1600 el cero comenz\u00f3 a extenderse pero solo tras encontrar mucho resistencia.<\/p>\n

Por supuesto a\u00fan hay signos de los problemas causados por el cero. Recientemente mucha gente de todo el mundo celebr\u00f3 el nuevo milenio el 1 de Enero de 2000. Por supuesto celebraron el paso de solo 1999 a\u00f1os, dado que el calendario no tienen ning\u00fan a\u00f1o cero especificado. Aunque se podr\u00eda olvidar el error original, es un tanto sorprendente que la mayor\u00eda de la gente sea incapaz de comprender por qu\u00e9 el tercer milenio y el siglo XXI comenzaron el 1 de Enero de 2001. \u00a1El cero continua causando problemas!<\/p>\n

*: Nota del Traductor — Un hasta equivale a aproximadamente 2 metros<\/em><\/p>\n

Bibliograf\u00eda<\/strong><\/p>\n

Libros<\/strong>:<\/p>\n

1. R Calinger, A conceptual history of mathematics (Upper Straddle River, N. J., 1999).<\/p>\n

2. G Ifrah, From one to zero : A universal history of numbers (New York, 1987).<\/p>\n

3. G Ifrah, A universal history of numbers : From prehistory to the invention of the computer (London, 1998).<\/p>\n

4. G G Joseph, The crest of the peacock (London, 1991).<\/p>\n

5. R Kaplan, The nothing that is : a natural history of zero (London, 1999).<\/p>\n

6. R Mukherjee, Discovery of zero and its impact on Indian mathematics (Calcutta, 1991).<\/p>\n

Art\u00edculos<\/strong>:<\/p>\n

7. S Giuntini, A discussion concerning the nature of zero and the relation between imaginary and real numbers (Italian), Boll. Storia Sci. Mat. 4 (1) (1984), 25-63.<\/p>\n

8. R C Gupta, Who invented the zero?, Ganita-Bharati 17 (1-4) (1995), 45-61.<\/p>\n

9. P M\u00e4der, ‘Wie die Puppe ein Adler sein wollte, der Esel ein L\u00f6we, die \u00c4ffin eine K\u00f6nigin – so wollte die Null eine Ziffer sein!’ Ein \u00dcberblick zur Geschichte der Zahl Null, in Jahrbuch \u00dcberblicke Mathematik, 1995 (Braunschweig, 1995), 39-64.<\/p>\n

10. R N Mukherjee, Background to the discovery of the symbol for zero, in Proceedings of the Symposium on the 1500th Birth Anniversary of Aryabhata I, New Delhi, 1976, Indian J. Hist. Sci. 12 (2) (1977), 225-231.<\/p>\n

11. K Muroi, The expressions of zero and of squaring in the Babylonian mathematical text VAT 7537, Historia Sci. (2) 1 (1) (1991), 59-62.<\/p>\n

12. L Pogliani, M Randic and N Trinajstic, Much ado about nothing – an introductive inquiry about zero, Internat. J. Math. Ed. Sci. Tech. 29 (5) (1998),729–744.<\/p>\n

13. S Ursini Legovich, The origin of the zero in Central American civilization. Comparative analysis with the Hindu case (Spanish), Mat. Ense\u00f1anza No. 13 (1980), 7-20.<\/p>\n

14. M Ja Vygodskii, L’origine du signe de z\u00e9ro dans la num\u00e9ration babylonienne (Russian), Istor.-Mat. Issled. 12 (1959), 393-420.<\/p>\n

Autores: <\/strong>J J O’Connor y E F Robertson<\/em><\/p>\n

MacTutor History of Mathematics<\/strong><\/p>\n

Enlaces de inter\u00e9s<\/h3>\n