{"id":706,"date":"2010-01-27T01:18:38","date_gmt":"2010-01-26T23:18:38","guid":{"rendered":"http:\/\/matematicas.jesussoto.es\/?p=706"},"modified":"2013-10-05T19:47:28","modified_gmt":"2013-10-05T17:47:28","slug":"los-genios-tambien-se-equivocan","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/pimedios.jesussoto.es\/?p=706","title":{"rendered":"Los genios tambi\u00e9n se equivocan"},"content":{"rendered":"

\"\" Para terminar con el dilema que present\u00f3 la serie de Grandi, presentaremos el \u00faltimo cap\u00edtulo, donde veremos que los errores y las incongruencias no afectaron solo a unos pocos genios matem\u00e1ticos.<\/p>\n

Leibniz hab\u00eda buscado la soluci\u00f3n a la incongruencia del valor de 1\/2 para la suma de Grandi en un planteamiento probabil\u00edstico<\/em>, del que \u00e9l mismo dudada, de hecho as\u00ed se lo comunic\u00f3 a otros autores. No obstante, genios como Lagrange o Poisson aceptaron el argumento. Incluso Euler admiti\u00f3 el resultado, llegando \u00e9l mismo a una conclusi\u00f3n similar:<\/p>\n

1-2+3-4+5-6+…=1\/4.<\/p>\n

\u00bfC\u00f3mo?, el planteamiento difiere a como lo mostrar\u00e9, pero para verlo esta forma resulta m\u00e1s sencilla.<\/p>\n

s=1-2+3-4+5-6+…=1+(-2+3-4+5-6+…)=1-(2-3+4-5+6-…)= 1-((1+1)-(1+2)+(1+3)-(1+4)+ (1+5)-…)=1-(1-1+1-1+…)-(1-2+3-4+5-…)=1-1\/2-s<\/p>\n

de donde se deduce que s=1\/4. Sin embargo, Euler ya comenzaba a atisbar el problema:<\/p>\n

Ya no queda ninguna duda que la suma de la serie 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6\u2026 etc\u00e9tera es 1\/4 (\u2026) Parece una paradoja decir que arroja el valor 1\/4, ya que cuando sumamos los primeros cien t\u00e9rminos de la serie se obtiene el valor -50, mientras que la suma de los primeros 101 t\u00e9rminos arroja el valor +51, lo cual es muy distinto de 1\/4 y la suma es cada vez mayor a medida que aumenta el n\u00famero de t\u00e9rminos que se suman. Por ello es que desde hace alg\u00fan tiempo he llegado a la conclusi\u00f3n de que es necesario darle a la palabra \u00absuma\u00bb un significado m\u00e1s amplio\u2026<\/p><\/blockquote>\n

El mismo escepticismo cuando Riccati argument\u00f3 que la soluci\u00f3n de Grandi llevaba a inconsistencias como que<\/p>\n

n\/2=n\/(1+1)=n-n+n-n+n-n+n-n+…<\/p>\n

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El error es causado por el uso de una serie […] de la que es imposible llegar a ninguna conclusi\u00f3n. De hecho, […] que no suceda que los t\u00e9rminos siguientes pueden ser descuidados en comparaci\u00f3n con los anteriores t\u00e9rminos, esta propiedad se verifica s\u00f3lo para las series convergentes.<\/p>\n<\/blockquote>\n

El error radicaba en la concepci\u00f3n de serie, o m\u00e1s bien, en la falta de una definici\u00f3n clara de que era una serie.<\/p>\n

Enlaces de inter\u00e9s:<\/h3>\n